Магнитный скирмион - Magnetic skyrmion

Рис. 1. Векторное поле двумерных магнитных скирмионов: а) скирмиона-ежа и б) спирального скирмиона.

В физике магнитные скирмионы (иногда их называют «вихрями»,[1] или "вихревой"[2]конфигурации) квазичастицы[3] которые были предсказаны теоретически[1][4][5] и наблюдалось экспериментально[6][7][8] в конденсированных средах. Скирмионы, названный в честь британского физика Тони Хилтон Ройл Скирм, могут образовываться в магнитных материалах в их «объеме», например, в MnSi,[7] или в магнитных тонких пленках.[1][2][9][10] Они могут быть ахиральными (рис. 1 а) или хиральный (Рис. 1 б) в природе и могут существовать как в виде динамических возбуждений.[3] или стабильные или метастабильные состояния.[6] Хотя широкие линии, определяющие магнитные скирмионы, были установлены де-факто, существует множество интерпретаций с небольшими различиями.

Большинство описаний включают понятие топология - категоризация форм и способа размещения объекта в пространстве - с использованием приближения непрерывного поля, как определено в микромагнетизм. В описаниях обычно указывается ненулевое целочисленное значение топологический указатель,[11] (не путать с химия значение слова «топологический индекс» ). Это значение иногда также называют номер намотки,[12] то топологический заряд[11] (хотя в электрическом смысле это не связано с "зарядом"), топологическое квантовое число[13] (хотя это не связано с квантовой механикой или квантово-механическими явлениями, несмотря на квантование значений индекса), или, в более широком смысле, как «число скирмиона».[11] Математически топологический индекс поля можно описать как[11]

 

 

 

 

(1)

куда - топологический индекс, - единичный вектор в направлении локальной намагниченности внутри магнитной тонкой, ультратонкой или объемной пленки, а интеграл берется по двумерному пространству. (Возможно обобщение на трехмерное пространство).[нужна цитата ].Переход к сферическим координатам для пространства ( ) и для намагничивания ( ) можно понять значение числа скирмиона. В конфигурациях скирмионов пространственную зависимость намагниченности можно упростить, задав перпендикулярную магнитную переменную, независимую от угла в плоскости () и плоской магнитной переменной независимо от радиуса ( Тогда топологическое число скирмиона выглядит так:

 

 

 

 

(2)

куда п описывает направление намагничивания в начале координат (п= 1 (-1) для ) и W - номер намотки. С учетом того же равномерного намагничивания, т. п значение, номер намотки позволяет определить скирмион () с положительным числом намотки и антискирмион с отрицательным числом намотки и, следовательно, топологическим зарядом, противоположным заряду скирмиона.

Сравнение скирмиона и антискирмиона. a, b Неелеподобный скирмион и антискирмион, схематически показанные в c и d, отображенные на сфере. Цветовой код представляет собой компонент вращений вне плоскости через яркость, при этом яркие (темные) вращения направлены вверх (вниз), а их направление вращения в радиальном направлении, идущее изнутри наружу, меняется с красного (по часовой стрелке) на серый ( исчезающее чувство вращения) на зеленый (против часовой стрелки). e, f Поперечные сечения спиновых текстур по четырем выделенным направлениям, показанным в c и d[14]

Это уравнение физически описывает конфигурацию, в которой спины в магнитной пленке все выровнены ортонормировано плоскости пленки, за исключением тех, которые находятся в одной конкретной области, где спины постепенно поворачиваются к ориентации, перпендикулярной плоскости пленки, но антипараллельный тем, кто находится в остальной части самолета. Предполагая двумерную изотропию, свободная энергия такой конфигурации минимизируется за счет релаксации к состоянию, демонстрирующему круговую симметрию, в результате чего получается конфигурация, схематически показанная (для двумерного скирмиона) на рисунке 1. В одном измерении различие между прогрессией намагничивания в «скирмионной» паре доменных стенок, и прогрессия намагниченности в топологически тривиальной паре магнитных доменных стенок проиллюстрирована на рисунке 2. Рассмотрение этого одномерного случая эквивалентно рассмотрению горизонтального разреза по диаметру 2- размерный скирмион ежа (рис. 1 (а)) и глядя на прогрессию локальных ориентаций спина.

Рис. 2 Сравнение пары магнитных доменных стенок с постоянной угловой прогрессией (одномерный скирмион) и пары магнитных доменных границ с двумя противоположными угловыми прогрессиями (топологически тривиально).

Стоит отметить, что есть две разные конфигурации, которые удовлетворяют критерию топологического индекса, указанному выше. Различие между ними можно прояснить, рассмотрев горизонтальный разрез обоих скирмионов, показанных на рисунке 1, и посмотрев на прогрессию ориентации локальных спинов. В случае фиг. 1 (а) намагниченность по диаметру циклоидальная. Этот тип скирмиона известен как «ежовый скирмион». В случае фиг. 1 (б), намагничивание происходит по спирали, что дает начало тому, что часто называют «вихревым скирмионом».

Стабильность

Предполагается, что магнитная конфигурация скирмиона будет стабильной, поскольку атомные спины, которые ориентированы противоположно спинам окружающей тонкой пленки, не могут «перевернуться», чтобы выровняться с остальными атомами в пленке, не преодолевая энергетический барьер. Этот энергетический барьер часто неоднозначно описывается как возникающий из-за «Топологическая защита». (Видеть Топологическая стабильность против энергетической устойчивости).

В зависимости от магнитных взаимодействий, существующих в данной системе, топология скирмионов может быть стабильным, метастабильным или нестабильным решением, если минимизировать свободную энергию системы.[нужна цитата ]

Теоретические решения существуют как для изолированных скирмионов, так и для решеток скирмионов.[нужна цитата ] Однако, поскольку стабильность и поведенческие атрибуты скирмионов могут значительно различаться в зависимости от типа взаимодействий в системе, слово «скирмион» может относиться к существенно различным магнитным объектам. По этой причине некоторые физики предпочитают зарезервировать использование термина «скирмион» для описания магнитных объектов с определенным набором свойств устойчивости, возникающих в результате определенного набора магнитных взаимодействий.

Определения

В целом определения магнитных скирмионов делятся на 2 категории. К какой категории человек выберет отнесение, во многом зависит от того, какой акцент он хочет сделать на различных качествах. Первая категория основана строго на топология. Это определение может показаться уместным при рассмотрении зависящих от топологии свойств магнитных объектов, таких как их динамическое поведение.[3][15] Вторая категория подчеркивает внутренняя энергетическая стабильность некоторых солитонных магнитных объектов. В этом случае энергетическая стабильность часто (но не обязательно) связана с формой хиральный взаимодействие, которое может происходить из Взаимодействие Дзялошинского-Мория (DMI),[11][16][17] или спиральный магнетизм, происходящий из Механизм двойного обмена (DE) [18] или соревнуясь Гейзенберговское обменное взаимодействие[19].

  1. При математическом выражении определения первой категории утверждают, что магнитные спиновые текстуры с прогрессией спина удовлетворяют условию: куда является целым числом ≥1, можно квалифицировать как магнитные скирмионы.
  2. Определения второй категории аналогичным образом предусматривают, что магнитный скирмион демонстрирует спин-текстуру с последовательностью спина, удовлетворяющей условию: куда целое число ≥1, но дальше предполагают, что должен существовать энергетический член, который стабилизирует спиновую структуру в локализованный магнитный солитон энергия которого инвариантна при переносе положения солитона в пространстве. (Условие пространственной энергетической инвариантности представляет собой способ исключить структуры, стабилизированные локально действующими факторами, внешними по отношению к системе, такими как ограничение, возникающее из-за геометрии конкретной наноструктуры).[нужна цитата ]

Первый набор определений магнитных скирмионов - это суперсет второй, поскольку он предъявляет менее жесткие требования к свойствам магнитной спиновой текстуры. Это определение находит смысл существования, потому что сама топология определяет некоторые свойства магнитных спиновых текстур, такие как их динамические реакции на возбуждения.

Вторая категория определений может быть предпочтительнее, чтобы подчеркнуть свойства внутренней стабильности некоторых магнитные конфигурации. Эти качества возникают в результате стабилизирующих взаимодействий, которые можно описать несколькими математическими способами, в том числе, например, с использованием более высоких порядков. пространственный производные условия[4] такие как члены 2-го или 4-го порядка для описания поля (механизм, первоначально предложенный в физике элементарных частиц Тони Скирмом для модели непрерывного поля),[20][21] или производные функционалы 1-го порядка, известные как инварианты Лифшица[22]- вклады энергии, линейные по первым пространственным производным намагниченности, - как позже предложил Алексей Богданов.[1][23][24][25] (Примером такого функционала 1-го порядка является взаимодействие Дзялошинского-Мория).[26]Во всех случаях энергетический член вводит топологически нетривиальные решения системы частичный дифференциальные уравнения.[нужна цитата ] Другими словами, энергетический член делает возможным существование топологически нетривиальной магнитной конфигурации, которая ограничена конечной, локализованной областью и обладает внутренней стабильностью или метастабильностью относительно тривиального однородно намагниченного основного состояния - т.е. магнитный солитон. Пример гамильтониана, содержащего один набор энергетических членов, который допускает существование скирмионов второй категории, следующий:[2]

 

 

 

 

(2)

где первая, вторая, третья и четвертая суммы соответствуют обмен, Дзялошинский-Мория, Зееман (ответственный за «обычные» моменты и силы, наблюдаемые на магнитном дипольном моменте в магнитное поле ), и магнитная анизотропия (обычно магнитокристаллическая анизотропия ) энергии взаимодействия соответственно. Обратите внимание, что уравнение (2) не содержит члена для дипольного или «размагничивающего» взаимодействия между атомами. Как в ур. Согласно (2) дипольное взаимодействие иногда не учитывается при моделировании ультратонких «двумерных» магнитных пленок, поскольку оно имеет тенденцию вносить незначительный эффект по сравнению с другими.[нужна цитата ]

Роль топологии

Топологическая стабильность против энергетической устойчивости

Нетривиальная топология сама по себе не предполагает энергетической устойчивости. На самом деле нет необходимой связи между топологией и энергетической стабильностью. Следовательно, нужно быть осторожным, чтобы не перепутать «топологическую стабильность», которая является математическим понятием,[нужна цитата ] с энергетической устойчивостью в реальных физических системах. Топологическая устойчивость относится к идее о том, что для того, чтобы система, описываемая непрерывным полем, могла перейти из одного топологического состояния в другое, в непрерывном поле должен произойти разрыв, т. Е. Должен возникать разрыв. Например, если кто-то хочет превратить гибкий баллонный пончик (тор) в обычный сферический баллон, необходимо сделать разрыв на некоторой части поверхности баллонного ореха. Математически пончик с воздушным шаром можно описать как «топологически стабильный». Однако в физике свободная энергия, необходимая для возникновения разрыва, обеспечивающего переход системы из одного «топологического» состояния в другое, всегда равна конечный. Например, можно превратить резиновый баллон в плоский кусок резины, проткнув его иглой (и ткнув!). Таким образом, хотя физическая система может быть примерно описаны с использованием математической концепции топологии, атрибуты, такие как энергичный стабильность зависит от параметров системы - прочности резины в приведенном выше примере - а не от топологии как таковой. Чтобы провести значимую параллель между концепцией топологической устойчивости и энергетической устойчивости системы, аналогия обязательно должна сопровождаться введением ненулевой феноменологической «жесткости поля» для учета конечной энергии, необходимой для разрыва системы. топология поля[нужна цитата ]. Моделирование и последующее интегрирование этой жесткости поля можно сравнить с расчетом плотности энергии пробоя поля. Эти соображения предполагают, что то, что часто называют «топологической защитой» или «топологическим барьером», следует более точно называть «энергетическим барьером, связанным с топологией», хотя эта терминология несколько громоздка. Количественная оценка такого топологического барьера может быть получена путем выделения критической магнитной конфигурации, когда топологическое число изменяется во время динамического процесса события рождения скирмиона. Применяя топологический заряд, определенный в решетке,[27] теоретически показано, что высота барьера пропорциональна обменной жесткости.[28]

Дальнейшие наблюдения

Важно помнить о том, что магнитные = 1 структуры фактически стабилизируются не в силу их «топологии», а скорее благодаря параметрам жесткости поля, которые характеризуют данную систему. Однако это не означает, что топология играет незначительную роль в отношении энергетической устойчивости. Напротив, топология может создать возможность для существования определенных стабильных магнитных состояний, которых иначе не могло бы быть. Однако топология сама по себе не гарантия стабильность государства. Для того чтобы состояние имело устойчивость, связанную с его топологией, оно должно дополнительно сопровождаться ненулевой жесткостью поля. Таким образом, топологию можно рассматривать как необходимое, но недостаточное условие существования определенных классов устойчивых объектов. Хотя это различие на первый взгляд может показаться педантичным, его физическая мотивация становится очевидной при рассмотрении двух конфигураций магнитного спина с идентичной топологией. = 1, но подвержен влиянию только одного различающегося магнитного взаимодействия. Например, мы можем рассматривать одну конфигурацию спина с и одну конфигурацию без присутствия магнитокристаллическая анизотропия, ориентированная перпендикулярно плоскости сверхтонкой магнитной пленки. В этом случае = 1 конфигурация, на которую влияет магнитокристаллическая анизотропия, будет более энергетически стабильной, чем конфигурация = 1 конфигурация без него, несмотря на идентичную топологию. Это связано с тем, что магнитокристаллическая анизотропия способствует жесткости поля, и именно жесткость поля, а не топология, создает заметный энергетический барьер, защищающий топологическое состояние.

Наконец, интересно отметить, что в некоторых случаях помогает не топология. = 1 конфигурации, чтобы быть стабильными, а наоборот, поскольку это стабильность поля (что зависит от соответствующих взаимодействий), что способствует = 1 топология. Это означает, что наиболее стабильная энергетическая конфигурация составляющих поля (в данном случае магнитных атомов) может фактически заключаться в организации топологии, которую можно описать как = 1 топология. Так обстоит дело с магнитными скирмионами, стабилизированными Взаимодействие Дзялошинского – Мория, что заставляет соседние магнитные спины «предпочитать» иметь фиксированный угол между собой (с энергетической точки зрения). Обратите внимание, что с точки зрения практических приложений это не меняет полезности разработки систем с взаимодействием Дзялошинского – Мория, поскольку такие приложения строго зависят от топологии [скирмионов или ее отсутствия], которая кодирует информацию, а не от лежащие в основе механизмы, которые стабилизируют необходимую топологию.

Эти примеры показывают, почему использование терминов «топологическая защита» или «топологическая стабильность» взаимозаменяемо с концепцией энергетической стабильности вводит в заблуждение и может привести к фундаментальной путанице.

Ограничения применения концепции топологии

Следует проявлять осторожность, делая выводы на основе энергетических барьеров, связанных с топологией, поскольку применение понятия топологии может ввести в заблуждение - описание, которое строго применяется к непрерывный полей - сделать вывод об энергетической устойчивости структур, существующих в прерывистый системы. Уступить этому искушению иногда бывает проблематично в физике, где поля, которые аппроксимируются как непрерывные, становятся прерывистыми ниже определенных масштабов. Так обстоит дело, например, когда понятие топологии связано с микромагнитная модель - который аппроксимирует магнитную текстуру системы как непрерывное поле - а затем применяется без разбора без учета физических ограничений модели (то есть того, что она перестает действовать при атомных размерах). На практике рассмотрение спиновых текстур магнитных материалов как векторов модели непрерывного поля становится неточным на масштабах порядка <2 нм из-за дискретизации атомной решетки. Таким образом, говорить о магнитных скирмионах ниже этих масштабов не имеет смысла.

Практическое применение

Предполагается, что магнитные скирмионы допускают существование дискретных магнитных состояний, которые значительно более энергетически стабильны (на единицу объема), чем их однодоменные аналоги. По этой причине предполагается, что магнитные скирмионы могут использоваться в качестве битов для хранения информации в будущей памяти и логических устройствах, где состояние бита кодируется наличием или отсутствием магнитного скирмиона. Динамический магнитный скирмион демонстрирует сильное дыхание, что открывает возможности для микроволновых приложений на основе скирмионов.[29]Моделирование также показывает, что положением магнитных скирмионов внутри пленки / нанотрека можно управлять с помощью спиновых токов. [9] или спиновые волны.[30] Таким образом, магнитные скирмионы также являются перспективными кандидатами на будущее. ипподром -тип технологий логических вычислений в памяти.[9][31][32][33]

  • Скирмион - логическая операция И. Скирмион представляет собой логическую 1, а основное ферромагнитное состояние представляет логический 0. Левая панель, основная операция логического элемента И 1 + 0 = 0. Средняя панель, основная операция логического элемента И 0 + 1 = 0. Правая панель, основная операция логического элемента И 1 + 1 = 1.[31]

  • Операция логического ИЛИ Skyrmion. Скирмион представляет логическую 1, а основное ферромагнитное состояние представляет логический 0. Левая панель, основная операция логического элемента ИЛИ 1 + 0 = 1. Средняя панель, основная операция логического элемента ИЛИ 0 + 1 = 1. Правая панель, основная операция логического элемента ИЛИ 1 + 1 = 1.[31]

Рекомендации

  1. ^ а б c d Богданов А.Н., Rössler UK (июль 2001 г.). «Нарушение киральной симметрии в магнитных тонких пленках и мультислоях». Письма с физическими проверками. 87 (3): 037203. Bibcode:2001PhRvL..87c7203B. Дои:10.1103 / Physrevlett.87.037203. PMID  11461587.
  2. ^ а б c Ивасаки Дж., Мотидзуки М., Нагаоса Н. (октябрь 2013 г.). «Индуцированная током динамика скирмионов в ограниченных геометриях». Природа Нанотехнологии. 8 (10): 742–7. arXiv:1310.1655. Bibcode:2013НатНа ... 8..742И. Дои:10.1038 / nnano.2013.176. PMID  24013132. S2CID  780496.
  3. ^ а б c Сонди С.Л., Карлхеде А., Кивельсон С.А., Резайи Э.Х. (июнь 1993 г.). «Скирмионы и переход от целочисленного к дробному квантовому эффекту Холла при малых зеемановских энергиях». Физический обзор. B, конденсированное вещество. 47 (24): 16419–16426. Bibcode:1993ПхРвБ..4716419С. Дои:10.1103 / Physrevb.47.16419. PMID  10006073.
  4. ^ а б Rössler UK, Богданов А.Н., Pfleiderer C (август 2006 г.). «Основные состояния спонтанных скирмионов в магнитных металлах». Природа. 442 (7104): 797–801. arXiv:cond-mat / 0603103. Bibcode:2006Натура.442..797R. Дои:10.1038 / природа05056. PMID  16915285. S2CID  4389730.
  5. ^ Дюпе Б., Хоффманн М., Пайяр С., Хайнце С. (июнь 2014 г.). «Изготовление магнитных скирмионов в сверхтонких пленках переходных металлов». Nature Communications. 5: 4030. Bibcode:2014 НатКо ... 5.4030D. Дои:10.1038 / ncomms5030. PMID  24893652.
  6. ^ а б Romming N, Hanneken C, Menzel M, Bickel JE, Wolter B, von Bergmann K, et al. (Август 2013). «Запись и удаление одиночных магнитных скирмионов». Наука. 341 (6146): 636–9. Bibcode:2013Научный ... 341..636R. Дои:10.1126 / science.1240573. PMID  23929977. S2CID  27222755.
  7. ^ а б Мюльбауэр С., Бинц Б., Йониц Ф., Пфлейдерер С., Рош А., Нойбауэр А. и др. (Февраль 2009 г.). «Решетка скирмионов в киральном магнетике». Наука. 323 (5916): 915–9. arXiv:0902.1968. Bibcode:2009Научный ... 323..915М. Дои:10.1126 / science.1166767. PMID  19213914. S2CID  53513118.
  8. ^ Хсу П.Дж., Кубецка А., Финко А., Ромминг Н., фон Бергманн К., Wiesendanger R (Февраль 2017). «Коммутация индивидуальных магнитных скирмионов под действием электрического поля». Природа Нанотехнологии. 12 (2): 123–126. arXiv:1601.02935. Bibcode:2017НатНа..12..123H. Дои:10.1038 / nnano.2016.234. PMID  27819694. S2CID  5921700.
  9. ^ а б c Fert A, Cros V, Sampaio J (март 2013 г.). «Скирмионы на трассе». Природа Нанотехнологии. 8 (3): 152–6. Bibcode:2013НатНа ... 8..152F. Дои:10.1038 / nnano.2013.29. PMID  23459548.
  10. ^ Husain S, Sisodia N, Chaurasiya AK, Kumar A., ​​Singh JP, Yadav BS и др. (Январь 2019). "Гетероструктуры ультратонких пленок из сплава 2FeAl Heusler". Научные отчеты. 9 (1): 1085. Дои:10.1038 / s41598-018-35832-3. ЧВК  6355792. PMID  30705297.
  11. ^ а б c d е Хайнце С., Бергманн К., Менцель М., Бреде Дж., Кубецка А., Wiesendanger R, Бильмайер Г., Блюгель С. (2011). «Спонтанная решетка магнитных скирмионов атомного масштаба в двух измерениях». Природа Физика. 7 (9): 713–718. Bibcode:2011НатФ ... 7..713Ч. Дои:10.1038 / nphys2045.
  12. ^ фон Бергманн К., Кубецка А., Пицш О., Визендангер Р. (октябрь 2014 г.). «Индуцированные границей раздела киральные доменные стенки, спиновые спирали и скирмионы, обнаруженные с помощью спин-поляризованной сканирующей туннельной микроскопии». Журнал физики. Конденсированное вещество. 26 (39): 394002. Bibcode:2014JPCM ... 26M4002V. Дои:10.1088/0953-8984/26/39/394002. PMID  25214495.
  13. ^ Finazzi M, Savoini M, Khorsand AR, Tsukamoto A, Itoh A, Duò L и др. (Апрель 2013). «Лазерно-индуцированные магнитные наноструктуры с настраиваемыми топологическими свойствами». Письма с физическими проверками. 110 (17): 177205. arXiv:1304.1754. Bibcode:2013PhRvL.110q7205F. Дои:10.1103 / Physrevlett.110.177205. PMID  23679767. S2CID  21660154.
  14. ^ Хоффманн М., Циммерманн Б., Мюллер Г.П., Шюрхофф Д., Киселев Н.С., Мельхер С., Блюгель С. (август 2017 г.). «Антискирмионы, стабилизированные на границах раздела анизотропными взаимодействиями Дзялошинского-Мория». Nature Communications. 8 (1): 308. arXiv:1702.07573. Bibcode:2017НатКо ... 8..308ч. Дои:10.1038 / s41467-017-00313-0. ЧВК  5566362. PMID  28827700.
  15. ^ Брей Л., Фертиг HA, Côté R, MacDonald AH (1997). «Скирмионы в квантовом эффекте Холла». Конспект лекций по физике. 478: 275–283. Bibcode:1997ЛНП ... 478..275Б. Дои:10.1007 / bfb0104643. ISBN  978-3-540-62476-9.
  16. ^ Киселев Н.С., Богданов А.Н., Шафер Р., Росслер Великобритания (2011). «Хиральные скирмионы в тонких магнитных пленках: новые объекты для технологий магнитного хранения?». Журнал физики D: Прикладная физика. 44 (39): 392001. arXiv:1102.2726. Bibcode:2011JPhD ... 44M2001K. Дои:10.1088/0022-3727/44/39/392001. S2CID  118433956.
  17. ^ Nagaosa N, Tokura Y (декабрь 2013 г.). «Топологические свойства и динамика магнитных скирмионов». Природа Нанотехнологии. 8 (12): 899–911. Bibcode:2013НатНа ... 8..899Н. Дои:10.1038 / nnano.2013.243. PMID  24302027.
  18. ^ Ажар М, Мостовой М (январь 2017). «Несоизмеримый спиральный порядок из двойного обмена». Письма с физическими проверками. 118 (2): 027203. arXiv:1611.03689. Bibcode:2017PhRvL.118b7203A. Дои:10.1103 / PhysRevLett.118.027203. PMID  28128593. S2CID  13478577.
  19. ^ Леонов А.О., Мостовой М. (сентябрь 2015 г.). «Многопериодические состояния и изолированные скирмионы в анизотропном фрустрированном магните». Nature Communications. 6: 8275. arXiv:1501.02757. Bibcode:2015 НатКо ... 6.8275L. Дои:10.1038 / ncomms9275. ЧВК  4667438. PMID  26394924.
  20. ^ Скирм TH (1961). «Нелинейная теория поля». Proc. R. Soc. Лондон. А. 260 (1300): 127–138. Bibcode:1961RSPSA.260..127S. Дои:10.1098 / rspa.1961.0018. S2CID  122604321.
  21. ^ Росслер УК, Леонов А.А., Богданов А.Н. (2010). «Скирмионные текстуры в хиральных магнитах». Journal of Physics: Серия конференций. 200 (2): 022029. arXiv:0907.3651. Bibcode:2010JPhCS.200b2029R. Дои:10.1088/1742-6596/200/2/022029. S2CID  14383159.
  22. ^ Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1997). Статистическая физика. Курс теоретической физики. 5.
  23. ^ Богданов А.Н., Яблонский Д.А. (1989). «Термодинамически устойчивые« вихри »в магнитоупорядоченных кристаллах. Смешанное состояние магнитов». Сов. Phys. ЖЭТФ. 68: 101–103.
  24. ^ Богданов А, Хуберт А (1994). «Термодинамически устойчивые магнитные вихревые состояния в магнитных кристаллах». J. Magn. Magn. Матер. 138 (3): 255–269. Bibcode:1994JMMM..138..255B. Дои:10.1016/0304-8853(94)90046-9.
  25. ^ Богданов А (1995). «Новые локализованные решения нелинейных уравнений поля». ЖЭТФ Lett. 62: 247–251.
  26. ^ Дзялошинский И.Е. (1964). «Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках. I. Неметаллы». Сов. Phys. ЖЭТФ. 19: 960.
  27. ^ Берг Б., Люшер М. (1981-08-24). «Определение и статистические распределения топологического числа в решеточной O (3) σ-модели». Ядерная физика B. 190 (2): 412–424. Bibcode:1981НуФБ.190..412Б. Дои:10.1016 / 0550-3213 (81) 90568-Х.
  28. ^ Инь Г (01.01.2016). «Топологический зарядовой анализ сверхбыстрого рождения одиночных скирмионов». Физический обзор B. 93 (17): 174403. arXiv:1411.7762. Bibcode:2016PhRvB..93q4403Y. Дои:10.1103 / PhysRevB.93.174403. S2CID  118493067.
  29. ^ Чжоу Ю., Якокка Э., Авад А.А., Дюма Р.К., Чжан ФК, Браун Х.Б., Окерман Дж. (Сентябрь 2015 г.). «Динамически стабилизированные магнитные скирмионы». Nature Communications. 6: 8193. Bibcode:2015 НатКо ... 6.8193Z. Дои:10.1038 / ncomms9193. ЧВК  4579603. PMID  26351104.
  30. ^ Чжан Х, Эзава М, Сяо Д., Чжао Г.П., Лю И, Чжоу И (июнь 2015 г.). «Полномагнитное управление скирмионами в нанопроволоках с помощью спиновой волны». Нанотехнологии. 26 (22): 225701. arXiv:1504.00409. Bibcode:2015Nanot..26v5701Z. Дои:10.1088/0957-4484/26/22/225701. PMID  25965121. S2CID  2449410.
  31. ^ а б c Чжан X, Эзава М., Чжоу И (март 2015 г.). «Логические ворота магнитного скирмиона: преобразование, дублирование и слияние скирмионов». Научные отчеты. 5: 9400. arXiv:1410.3086. Bibcode:2015НатСР ... 5Е9400Z. Дои:10.1038 / srep09400. ЧВК  4371840. PMID  25802991.
  32. ^ Чжоу Ю., Эзава М. (август 2014 г.). «Обратимое преобразование между скирмионом и парой доменных стенок в геометрии стыка». Nature Communications. 5: 4652. arXiv:1404.3350. Bibcode:2014 НатКо ... 5.4652Z. Дои:10.1038 / ncomms5652. PMID  25115977. S2CID  205328864.
  33. ^ Чжан X, Чжоу Y, Ezawa M, Zhao GP, Zhao W. (июнь 2015 г.). "Магнитный скирмионный транзистор: движение скирмиона в управляемой по напряжению нанотреке". Научные отчеты. 5: 11369. Bibcode:2015НатСР ... 511369Z. Дои:10.1038 / srep11369. ЧВК  4471904. PMID  26087287.