График Маккея - McKay graph

Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина

В математика, то График Маккея конечномерного представления V конечного группа грамм взвешенный колчан кодирование структуры теория представлений из грамм. Каждый узел представляет собой неприводимое представление грамм. Если ${ displaystyle chi _ {i}, chi _ {j}}$ неприводимые представления грамм, то есть стрелка от ${ Displaystyle чи _ {я}}$ к ${ displaystyle chi _ {j}}$ если и только если ${ displaystyle chi _ {j}}$ является составной частью тензорное произведение ${ displaystyle V otimes chi _ {i}}$ . Тогда вес п_ij стрелки - это количество раз, когда этот компонент встречается в ${ displaystyle V otimes chi _ {i}}$ . Для конечных подгрупп ЧАС из GL (2, C) граф Маккея ЧАС - граф Маккея канонического представления ЧАС.

Если грамм имеет п неприводимые символы, то Матрица Картана c_V представительства V измерения d определяется ${ displaystyle c_ {V} = (d delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij}}$ , где δ - Дельта Кронекера. Результат Стейнберга утверждает, что если грамм является представителем класс сопряженности из грамм, то векторы ${ Displaystyle (( чи _ {я} (г)) _ {я}}$ являются собственными векторами c_V к собственным значениям ${ displaystyle d- chi _ {V} (g)}$ , куда ${ displaystyle chi _ {V}}$ это характер представления V.

Переписка Маккея, названная в честь Джон Маккей, утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между графами Маккея конечных подгрупп SL (2, C) и расширенный Диаграммы Дынкина, которые появляются в Классификация ADE из простых Алгебры Ли.

Определение

Позволять грамм конечная группа, V быть представление из грамм и ${ displaystyle chi}$ быть его персонажем. Позволять ${ displaystyle { chi _ {1}, ldots, chi _ {d} }}$ неприводимые представления грамм. Если

{ displaystyle V otimes chi _ {i} = sum _ {j} n_ {ij} chi _ {j},}

затем определите граф Маккея ${ displaystyle Gamma _ {G}}$ из ГРАММ, относительно V, следующее:

Каждое неприводимое представление грамм соответствует узлу в ${ displaystyle Gamma _ {G}}$ .
Если п_ij > 0 есть стрелка от ${ Displaystyle чи _ {я}}$ к ${ displaystyle chi _ {j}}$ веса п_ij, написано как ${ displaystyle chi _ {i} { xrightarrow {n_ {ij}}} chi _ {j}}$ , а иногда как п_ij немаркированные стрелки.
Если п_ij = п_джи, обозначим две противоположные стрелки между ${ Displaystyle чи _ {я}}$ и ${ displaystyle chi _ {j}}$ как ненаправленный край веса п_ij. Более того, если п_ij = 1, весовую метку опускаем.

Мы можем рассчитать стоимость п_ij с помощью внутренний продукт ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ на символы:

{ displaystyle n_ {ij} = langle V otimes chi _ {i}, chi _ {j} rangle = { frac {1} {| G |}} sum _ {g in G} V (g) chi _ {i} (g) { overline { chi _ {j} (g)}}.}

Граф Маккея конечной подгруппы в GL (2, C) определяется как граф Маккея его канонического представления.

Для конечных подгрупп SL (2, C) каноническое представление на C² самодвойственный, поэтому п_ij = п_джи для всех я, j. Таким образом, граф Маккея конечных подгрупп SL (2, C) неориентирован.

Фактически, согласно соответствию Маккея, существует взаимно однозначное соответствие между конечными подгруппами SL (2, C) и расширенные диаграммы Кокстера-Дынкина типа A-D-E.

Определим матрицу Картана c_V из V следующее:

{ displaystyle c_ {V} = (d delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij},}

куда ${ displaystyle delta _ {ij}}$ это Дельта Кронекера.

Некоторые результаты

Если представление V является точным, то каждое неприводимое представление содержится в некоторой тензорной степени ${ displaystyle V ^ { otimes k}}$ , а граф Маккея V подключен.
Граф Маккея конечной подгруппы SL (2, C) не имеет петель, т.е. п_ii = 0 для всех я.
Стрелки графа Маккея конечной подгруппы SL (2, C) все имеют единицу веса.

Примеры

Предполагать грамм = А × B, и существуют канонические неприводимые представления c_А и c_B из А и B соответственно. Если ${ Displaystyle чи _ {я}}$ , я = 1, ..., k, являются неприводимыми представлениями А и ${ displaystyle psi _ {j}}$ , j = 1, ..., ℓ, являются неприводимыми представлениями B, тогда

{ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j} quad 1 leq i leq k, , , 1 leq j leq ell}

неприводимые представления

{ displaystyle A times B}

, куда

{ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j} (a, b) = chi _ {i} (a) psi _ {j} (b), (a, b) in A times B}

. В этом случае мы имеем

{ displaystyle langle (c_ {A} times c_ {B}) otimes ( chi _ {i} times psi _ { ell}), chi _ {n} times psi _ {p } rangle = langle c_ {A} otimes chi _ {k}, chi _ {n} rangle cdot langle c_ {B} otimes psi _ { ell}, psi _ {p } rangle.}

Следовательно, на графике Маккея есть стрелка. грамм между

{ displaystyle chi _ {i} times psi _ {j}}

и

{ displaystyle chi _ {k} times psi _ { ell}}

тогда и только тогда, когда на графике Маккея есть стрелка А между

{ Displaystyle чи _ {я}}

и

{ displaystyle chi _ {k}}

и на графике Маккея есть стрелка B между

{ displaystyle psi _ {j}}

и

{ displaystyle psi _ { ell}}

. В этом случае вес на стрелке на графике Маккея грамм является произведением весов двух соответствующих стрелок в графах Маккея А и B.

Феликс Кляйн доказали, что конечные подгруппы SL (2, C) - бинарные группы полиэдров; все сопряжены подгруппам группы SU (2, C). Соответствие Маккея утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между графами Маккея этих бинарных полиэдральных групп и расширенными диаграммами Дынкина. Например, бинарная тетраэдрическая группа ${ displaystyle { overline {T}}}$ порождается SU (2, C) матрицы:

{ displaystyle S = left ({ begin {array} {cc} i & 0 0 & -i end {array}} right), V = left ({ begin {array} {cc} 0 & i i & 0 end {array}} right), U = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ begin {array} {cc} varepsilon & varepsilon ^ { 3} varepsilon & varepsilon ^ {7} end {array}} right),}

куда ε примитивный корень восьмой степени из единства. Фактически у нас есть

{ displaystyle { overline {T}} = {U ^ {k}, SU ^ {k}, VU ^ {k}, SVU ^ {k} mid k = 0, ldots, 5 }.}

Классы сопряженности

{ displaystyle { overline {T}}}

находятся:

{ Displaystyle C_ {1} = {U ^ {0} = I },}

{ Displaystyle C_ {2} = {U ^ {3} = - I },}

{ Displaystyle C_ {3} = { pm S, pm V, pm SV },}

{ displaystyle C_ {4} = {U ^ {2}, SU ^ {2}, VU ^ {2}, SVU ^ {2} },}

{ displaystyle C_ {5} = {- U, SU, VU, SVU },}

{ displaystyle C_ {6} = {- U ^ {2}, - SU ^ {2}, - VU ^ {2}, - SVU ^ {2} },}

{ Displaystyle C_ {7} = {U, -SU, -VU, -SVU }.}

Таблица символов

{ displaystyle { overline {T}}}

является

Классы сопряженности	${ displaystyle C_ {1}}$	${ displaystyle C_ {2}}$	${ displaystyle C_ {3}}$	${ displaystyle C_ {4}}$	${ displaystyle C_ {5}}$	${ displaystyle C_ {6}}$	${ displaystyle C_ {7}}$
${ displaystyle chi _ {1}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle chi _ {2}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$
${ displaystyle chi _ {3}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$
${ displaystyle chi _ {4}}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
${ displaystyle c}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle chi _ {5}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle - omega}$	${ displaystyle - omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$
${ displaystyle chi _ {6}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle -2}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle - omega ^ {2}}$	${ displaystyle - omega}$	${ displaystyle omega ^ {2}}$	${ displaystyle omega}$

Здесь

{ Displaystyle омега = е ^ {2 пи я / 3}}

. Каноническое представление V здесь обозначаетсяc. Используя внутреннее произведение, мы обнаруживаем, что граф Маккея

{ displaystyle { overline {T}}}

- расширенная диаграмма Кокстера – Дынкина типа

{ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}

.

График Маккея - McKay graph

Содержание

Определение

Некоторые результаты

Примеры

Смотрите также

Рекомендации