Мера некомпактности - Measure of non-compactness

В функциональный анализ, два меры некомпактности обычно используются; эти числа связывают с наборами таким образом, что компактный все наборы получают меру 0, а другие наборы получают меры, которые больше в зависимости от того, «насколько далеко» они удалены от компактности.

Основная идея заключается в следующем: ограниченное множество можно покрыть одним шаром некоторого радиуса. Иногда несколько шаров меньшего радиуса также могут покрыть набор. На самом деле компакт можно покрыть конечным числом шаров произвольного малого радиуса, так как он полностью ограниченный. Возникает вопрос: какой наименьший радиус позволяет покрыть множество конечным числом шаров?

Формально начнем с метрическое пространство M и подмножество Икс. В шаровая мера некомпактности определяется как

α (Икс) = инф {р > 0: существует конечное число шаров радиуса р какое покрытие Икс}

и Мера некомпактности Куратовского определяется как

β (Икс) = inf {d > 0: существует конечное число наборов диаметров не более d какое покрытие Икс}

Поскольку шар радиуса р имеет диаметр не более 2р, имеем α (Икс) ≤ β (Икс) ≤ 2α (Икс).

Две меры α и β имеют много общих свойств, и в дальнейшем мы будем использовать γ для обозначения любой из них. Вот набор фактов:

  • Икс ограничено тогда и только тогда, когда γ (Икс) < ∞.
  • γ (Икс) = γ (Иксcl), куда Иксcl обозначает закрытие из Икс.
  • Если Икс компактно, то γ (Икс) = 0. Наоборот, если γ (Икс) = 0 и Икс является полный, тогда Икс компактный.
  • γ (Икс ∪ Y) = max (γ (Икс), γ (Y)) для любых двух подмножеств Икс и Y.
  • γ непрерывна относительно Расстояние Хаусдорфа наборов.

Чаще всего используются меры некомпактности, если M это нормированное векторное пространство. В этом случае у нас есть дополнительно:

  • γ (aX) = |а| γ (Икс) для любого скаляр а
  • γ (Икс + Y) ≤ γ (Икс) + γ (Y)
  • γ (усл (Икс)) = γ (Икс), где conv (Икс) обозначает выпуклый корпус из Икс

Обратите внимание, что эти меры некомпактности бесполезны для подмножеств Евклидово пространство рп: посредством Теорема Гейне – Бореля, всякое ограниченное замкнутое множество там компактно, а значит, γ (Икс) = 0 или ∞ в зависимости от того, Икс ограничено или нет.

Однако меры некомпактности полезны при изучении бесконечномерных Банаховы пространства, Например. В этом контексте можно доказать, что любой шар B радиуса р имеет α (B) = р и β (B) = 2р.

Рекомендации

  1. Юзеф Банаш, Казимеж Гебель: Меры некомпактности в банаховых пространствах, Институт математики Польской академии наук, Варшава, 1979 г.
  2. Казимеж Куратовски: Топология Том I, PWN. Варшава, 1958 г.
  3. Р.Р. Ахмеров, М.И. Каменский, А. Потапова, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский, Операторы некомпактности и конденсации, Биркхойзер, Базель 1992 г.