Модульная лямбда-функция - Википедия - Modular lambda function

В математика, то эллиптическая модульная лямбда функция λ (τ) является высокосимметричной голоморфной функцией на комплексе верхняя полуплоскость. Он инвариантен относительно дробно-линейного действия группа сравнения Γ (2), и порождает функциональное поле соответствующего частного, т. Е. Является Hauptmodul для модульная кривая Икс(2). Над любой точкой τ его значение можно описать как перекрестное соотношение точек ветвления разветвленного двойного накрытия проективной прямой эллиптическая кривая ${ Displaystyle mathbb {C} / langle 1, tau rangle}$ , где отображение определяется как фактор по [−1] инволюции.

Q-разложение, где ${ Displaystyle д = е ^ { пи я тау}}$ это ном, дан кем-то:

{ displaystyle lambda ( tau) = 16q-128q ^ {2} + 704q ^ {3} -3072q ^ {4} + 11488q ^ {5} -38400q ^ {6} + dots}

. OEIS: A115977

Симметризуя лямбда-функцию относительно канонического действия симметрической группы S₃ на Икс(2), а затем соответствующим образом нормировав, получаем функцию на верхней полуплоскости, инвариантную относительно полной модулярной группы ${ Displaystyle SL_ {2} ( mathbb {Z})}$ , и на самом деле это модульная j-инвариантный.

Модульные свойства

Функция ${ Displaystyle лямбда ( тау)}$ инвариантен относительно группы, порожденной^[1]

{ displaystyle tau mapsto tau +2 ; tau mapsto { frac { tau} {1-2 tau}} .}

Генераторы модульной группы действуют следующим образом:^[2]

{ displaystyle tau mapsto tau +1 : lambda mapsto { frac { lambda} { lambda -1}} ,;}

{ displaystyle tau mapsto - { frac {1} { tau}} : lambda mapsto 1- lambda .}

Следовательно, действие модулярной группы на ${ Displaystyle лямбда ( тау)}$ это то из ангармоническая группа, давая шесть значений перекрестное соотношение:^[3]

{ displaystyle left lbrace { lambda, { frac {1} {1- lambda}}, { frac { lambda -1} { lambda}}, { frac {1} { lambda} }, { frac { lambda} { lambda -1}}, 1- lambda} right rbrace .}

Другие выступления

Другие эллиптические функции

Это квадрат из Модуль Якоби,^[4] то есть, ${ Displaystyle лямбда ( тау) = к ^ {2} ( тау)}$ . Что касается Функция Дедекинда эта ${ Displaystyle эта ( тау)}$ и тета-функции,^[4]

{ displaystyle lambda ( tau) = { Bigg (} { frac {{ sqrt {2}} , eta ({ tfrac { tau} {2}}) eta ^ {2} ( 2 tau)} { eta ^ {3} ( tau)}} { Bigg)} ^ {8} = { frac {16} { left ({ frac { eta ( tau / 2) } { eta (2 tau)}} right) ^ {8} +16}} = { frac { theta _ {2} ^ {4} (0, tau)} { theta _ {3 } ^ {4} (0, тау)}}}

и,

{ displaystyle { frac {1} {{ big (} lambda ( tau) { big)} ^ {1/4}}} - { big (} lambda ( tau) { big) } ^ {1/4} = { frac {1} {2}} left ({ frac { eta ({ tfrac { tau} {4}})} { eta ( tau)}} right) ^ {4} = 2 , { frac { theta _ {4} ^ {2} (0, { tfrac { tau} {2}})} { theta _ {2} ^ { 2} (0, { tfrac { tau} {2}})}}}

куда^[5] для ном ${ Displaystyle д = е ^ { пи я тау}}$ ,

{ displaystyle theta _ {2} (0, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ { left ({n + { frac {1} {2}}} right) ^ {2}}}

{ displaystyle theta _ {3} (0, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}}}

{ displaystyle theta _ {4} (0, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n ^ {2}}}

По полупериодам Эллиптические функции Вейерштрасса, позволять ${ displaystyle [ omega _ {1}, omega _ {2}]}$ быть фундаментальная пара периодов с ${ displaystyle tau = { frac { omega _ {2}} { omega _ {1}}}}$ .

{ displaystyle e_ {1} = wp left ({ frac { omega _ {1}} {2}} right), e_ {2} = wp left ({ frac { omega _ { 2}} {2}} right), e_ {3} = wp left ({ frac { omega _ {1} + omega _ {2}} {2}} right)}

у нас есть^[4]

{ displaystyle lambda = { frac {e_ {3} -e_ {2}} {e_ {1} -e_ {2}}} ,.}

Поскольку три значения полупериода различны, это показывает, что λ не принимает значения 0 или 1.^[4]

Отношение к j-инвариантный является^[6]^[7]

{ Displaystyle J ( тау) = { гидроразрыва {256 (1- лямбда (1- лямбда)) ^ {3}} {( лямбда (1- лямбда)) ^ {2}}} = { frac {256 (1- lambda + lambda ^ {2}) ^ {3}} { lambda ^ {2} (1- lambda) ^ {2}}} .}

какой j-инвариант эллиптической кривой Лежандровая форма ${ Displaystyle у ^ {2} = х (х-1) (х- лямбда)}$

Маленькая теорема Пикара

Лямбда-функция используется в исходном доказательстве Маленькая теорема Пикара, что весь непостоянная функция на комплексной плоскости не может пропускать более одного значения. Эта теорема была доказана Пикаром в 1879 году.^[8] Если возможно, предположим, что ж является целым и не принимает значений 0 и 1. Поскольку λ голоморфна, она имеет локальный голоморфный обратный ω, определенный вне 0,1, ∞. Рассмотрим функцию z → ω (ж(z)). Посредством Теорема монодромии это голоморфно и отображает комплексную плоскость C в верхнюю полуплоскость. Отсюда легко построить голоморфную функцию из C на единичный диск, который Теорема Лиувилля должно быть постоянным.^[9]

Самогон

Функция ${ displaystyle { frac {16} { lambda (2 tau)}} - 8}$ нормализованный Хауптмодуль для группы ${ displaystyle Gamma _ {0} (4)}$ , и это q-расширение ${ displaystyle q ^ {- 1} + 20q-62q ^ {3} + точки}$ , OEIS: A007248 куда ${ Displaystyle д = е ^ {2 пи я тау}}$ , - градуированный характер любого элемента класса сопряженности 4C группа монстров действуя на монстр вершинная алгебра.