Моранс I - Википедия - Morans I

Белые и черные квадраты идеально рассредоточены, поэтому Морана я будет -1. Если белые квадраты уложены на одну половину доски, а черные - на другую, я будет близко к +1. Случайное расположение квадратных цветов дало бы Морану я значение, близкое к 0.

В статистика, Морана я это мера пространственная автокорреляция разработан Патрик Альфред Пирс Моран.^[1][2] Пространственная автокорреляция характеризуется корреляцией сигнала между соседними точками в пространстве. Пространственная автокорреляция сложнее одномерной автокорреляция потому что пространственная корреляция многомерна (т.е. 2 или 3 измерения пространства) и разнонаправлена.

Определение

Морана я определяется как

${ displaystyle I = { frac {N} {W}} { frac { sum _ {i} sum _ {j} w_ {ij} (x_ {i} - { bar {x}}) ( x_ {j} - { bar {x}})} { sum _ {i} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}}}}$

куда ${ displaystyle N}$ это количество пространственных единиц, индексируемых ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$; ${ displaystyle x}$ - интересующая переменная; ${ displaystyle { bar {x}}}$ среднее значение ${ displaystyle x}$; ${ displaystyle w_ {ij}}$ представляет собой матрицу пространственных весов с нулями на диагонали (т. е. ${ displaystyle w_ {ii} = 0}$); и ${ displaystyle W}$ это сумма всех ${ displaystyle w_ {ij}}$.

Определение матриц весов

Значение ${ displaystyle I}$ может немного зависеть от допущений, заложенных в матрицу пространственных весов ${ displaystyle w_ {ij}}$. Идея состоит в том, чтобы построить матрицу, которая точно отражает ваши предположения о конкретном рассматриваемом пространственном явлении. Обычный подход - присвоить вес 1, если две зоны являются соседями, и 0 в противном случае, хотя определение «соседей» может варьироваться. Другой распространенный подход - присвоить вес 1 ${ displaystyle k}$ ближайшие соседи, 0 в противном случае. Альтернативой является использование функции убывания расстояния для назначения весов. Иногда длина общего ребра используется для присвоения разных весов соседям. При выборе матрицы пространственных весов следует руководствоваться теорией рассматриваемого явления.

Ожидаемое значение

Ожидаемая стоимость Moran's я при нулевой гипотезе об отсутствии пространственной автокорреляции

${ displaystyle E (I) = { frac {-1} {N-1}}}$

При больших размерах выборки (то есть, когда N приближается к бесконечности), ожидаемое значение приближается к нулю.

Его дисперсия равна

${ displaystyle operatorname {Var} (I) = { frac {NS_ {4} -S_ {3} S_ {5}} {(N-1) (N-2) (N-3) W ^ {2 }}} - (E (I)) ^ {2}}$

куда

${ displaystyle S_ {1} = { frac {1} {2}} sum _ {i} sum _ {j} (w_ {ij} + w_ {ji}) ^ {2}}$

${ displaystyle S_ {2} = sum _ {i} left ( sum _ {j} w_ {ij} + sum _ {j} w_ {ji} right) ^ {2}}$

${ displaystyle S_ {3} = { frac {N ^ {- 1} sum _ {i} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {4}} {(N ^ {- 1 } sum _ {i} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}) ^ {2}}}}$

${ Displaystyle S_ {4} = (N ^ {2} -3N + 3) S_ {1} -NS_ {2} + 3W ^ {2}}$

${ displaystyle S_ {5} = (N ^ {2} -N) S_ {1} -2NS_ {2} + 6W ^ {2}}$^[3]

Ценности я обычно варьируются от -1 до +1. Значения значительно ниже -1 / (N-1) указывают на отрицательную пространственную автокорреляцию, а значения значительно выше -1 / (N-1) указывают на положительную пространственную автокорреляцию. Для проверки статистических гипотез, Морана я значения могут быть преобразованы в z-значения.

Морана я обратно связано с Гири C, но это не идентично. Морана я является мерой глобальной пространственной автокорреляции, в то время как C более чувствителен к локальной пространственной автокорреляции.

Использует

Морана я широко используется в области география и географическая информатика. Вот некоторые примеры:

• Анализ географических различий показателей здоровья.^[4]
• Он был использован для характеристики воздействия литий концентрация в общественной воде для психического здоровья.^[5]
• Он также недавно использовался в диалектология для измерения значимости региональных языковых вариаций.^[6]
• Он использовался для определения целевой функции для значимой сегментации местности для геоморфологические исследования^[7]

Источники

Смотрите также

• Индикаторы пространственной ассоциации
• Си Гири
• Пространственная неоднородность