Мультисимплектический интегратор - Multisymplectic integrator

В математика, а мультисимплектический интегратор это численный метод для решения определенного класса уравнения в частных производных, которые называются мультисимплектическими. Мультисимплектические интеграторы - это геометрические интеграторы, что означает, что они сохраняют геометрию задач; в частности, численный метод сохраняет энергию и импульс в некотором смысле, как и само уравнение в частных производных. Примеры мультисимплектических интеграторов включают схему ящика Эйлера и схему ящика Прейсмана.

Мультисимплектические уравнения

Уравнение в частных производных (PDE) называется мультисимплектическое уравнение если это можно записать в виде

{ displaystyle Kz_ {t} + Lz_ {x} = nabla S (z),}

куда ${ Displaystyle г (т, х)}$ это неизвестное, ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle L}$ являются (постоянными) кососимметричные матрицы и ${ displaystyle nabla S}$ обозначает градиент из ${ displaystyle S}$ .^[1] Это естественное обобщение ${ Displaystyle Jz_ {t} = nabla H (z)}$ , форма Гамильтониан ОДУ.^[2]

Примеры мультисимплектических УЧП включают нелинейные Уравнение Клейна – Гордона ${ displaystyle u_ {tt} -u_ {xx} = V '(u)}$ , или, в более общем смысле, нелинейное волновое уравнение ${ displaystyle u_ {tt} = partial _ {x} sigma '(u_ {x}) - f' (u)}$ ,^[3] и Уравнение КдВ ${ displaystyle u_ {t} + uu_ {x} + u_ {xxx} = 0}$ .^[4]

Определить 2-формы ${ displaystyle omega}$ и ${ displaystyle kappa}$ к

{ displaystyle omega (u, v) = langle Ku, v rangle quad { text {and}} quad kappa (u, v) = langle Lu, v rangle}

куда ${ Displaystyle langle , CDOT ,, , CDOT , rangle}$ обозначает скалярное произведение. Дифференциальное уравнение сохраняет симплектичность в том смысле, что

{ displaystyle partial _ {t} omega + partial _ {x} kappa = 0.}

^[5]

Взяв скалярное произведение PDE с ${ displaystyle u_ {t}}$ дает местный закон сохранения для энергии:

{ Displaystyle partial _ {t} E (u) + partial _ {x} F (u) = 0 quad { text {где}} quad E (u) = S (u) - { tfrac {1} {2}} kappa (u_ {x}, u), , F (u) = { tfrac {1} {2}} kappa (u_ {t}, u).}

^[6]

Аналогично выводится локальный закон сохранения количества движения:

{ displaystyle partial _ {t} I (u) + partial _ {x} G (u) = 0 quad { text {where}} quad I (u) = { tfrac {1} {2 }} omega (u_ {x}, u), , G (u) = S (u) - { tfrac {1} {2}} omega (u_ {t}, u).}

^[6]

Схема ящика Эйлера

Мультисимплектический интегратор - это численный метод решения мультисимплектических уравнений в частных производных, численное решение которых сохраняет дискретную форму симплектичности.^[7] Одним из примеров является схема блока Эйлера, которая получается путем применения симплектический метод Эйлера каждой независимой переменной.^[8]

Схема блока Эйлера использует расщепление кососимметричных матриц ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle L}$ формы:

{ displaystyle { begin {align} K & = K _ {+} + K _ {-} quad { text {with}} quad K _ {-} = - K _ {+} ^ {T}, L & = L _ {+} + L _ {-} quad { text {with}} quad L _ {-} = - L _ {+} ^ {T}. End {align}}}

Например, можно взять ${ displaystyle K _ {+}}$ и ${ displaystyle L _ {+}}$ быть верхней треугольной частью ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle L}$ , соответственно.^[9]

Теперь представьте равномерная сетка и разреши ${ displaystyle u_ {n, i}}$ обозначим приближение к ${ Displaystyle и (п Delta {t}, я Delta {x})}$ куда ${ displaystyle Delta {t}}$ и ${ displaystyle Delta {x}}$ - шаг сетки во времени и пространстве. Тогда схема ящика Эйлера имеет вид

{ displaystyle K _ {+} partial _ {t} ^ {+} u_ {n, i} + K _ {-} partial _ {t} ^ {-} u_ {n, i} + L _ {+} частичное _ {x} ^ {+} u_ {n, i} + L _ {-} partial _ {x} ^ {-} u_ {n, i} = nabla {S} (u_ {n, i}) }

где конечная разница операторы определяются

{ displaystyle { begin {align} partial _ {t} ^ {+} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n + 1, i} -u_ {n, i}} { Delta {t}}}, & partial _ {x} ^ {+} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n, i + 1} -u_ {n, i}} { Delta {x }}}, [1ex] partial _ {t} ^ {-} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n, i} -u_ {n-1, i}} { Delta {t}}}, & partial _ {x} ^ {-} u_ {n, i} & = { frac {u_ {n, i} -u_ {n, i-1}} { Delta {x }}}. end {выравнивается}}}

^[10]

Схема блока Эйлера - это метод первого порядка,^[8] которое удовлетворяет дискретному закону сохранения

{ displaystyle partial _ {t} ^ {+} omega _ {n, i} + partial _ {x} ^ {+} kappa _ {n, i} = 0 quad { text {where} } quad omega _ {n, i} = mathrm {d} u_ {n, i-1} wedge K _ {+} , mathrm {d} u_ {n, i} quad { text { и}} quad kappa _ {n, i} = mathrm {d} u_ {n-1, i} wedge L _ {+} , mathrm {d} u_ {n, i}.}

^[11]

Схема коробки Прейсмана

Другой мультисимплектический интегратор - это схема ящиков Прейсмана, которая была введена Прейсманом в контексте гиперболических УЧП.^[12] Это также известно как схема с центрированной ячейкой.^[13] Схема ящика Прейсмана может быть получена путем применения Неявное правило средней точки, который является симплектическим интегратором, к каждой из независимых переменных.^[14] Это приводит к схеме

{ displaystyle K partial _ {t} ^ {+} u_ {n, i + 1/2} + L partial _ {x} ^ {+} u_ {n + 1/2, i} = nabla { S} (u_ {n + 1/2, i + 1/2}),}

где конечно-разностные операторы ${ displaystyle partial _ {t} ^ {+}}$ и ${ displaystyle partial _ {x} ^ {+}}$ определены, как указано выше, а значения полуцелых чисел определены как