Многомерная пробит-модель - Википедия - Multivariate probit model

Часть серии по
Регрессивный анализ
Модели
Линейная регрессия Простая регрессия Полиномиальная регрессия Общая линейная модель
Обобщенная линейная модель Дискретный выбор Биномиальная регрессия Бинарная регрессия Логистическая регрессия Полиномиальный логит Смешанный логит Пробит Полиномиальный пробит Заказал логит Заказал пробит Пуассон
Многоуровневая модель Фиксированные эффекты Случайные эффекты Линейная модель смешанных эффектов Нелинейная модель смешанных эффектов
Нелинейная регрессия Непараметрический Полупараметрический Крепкий Квантиль Изотонический Основные компоненты Наименьший угол Местный Сегментированный
Ошибки в переменных
Оценка
Наименьших квадратов Линейный Нелинейный
Обычный Взвешенный Обобщенный
Частичное Общий Неотрицательный Регрессия хребта Регулярный
Наименьшие абсолютные отклонения Итеративно переназначенный Байесовский Байесовский многомерный
Фон
Проверка регрессии Средний и прогнозируемый ответ Ошибки и остатки Доброту соответствия Студентизированный остаток Теорема Гаусса – Маркова
Математический портал

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Многомерная пробит-модель»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В статистика и эконометрика, то многомерная пробит модель является обобщением пробит модель используется для совместной оценки нескольких коррелированных бинарных результатов. Например, если считается, что решения об отправке хотя бы одного ребенка в государственную школу и решение о голосовании в пользу школьного бюджета коррелированы (оба решения бинарны), то многомерная пробит-модель будет подходящей для совместного прогнозирования этих два варианта на индивидуальной основе. Этот подход изначально был разработан Сиддхартха Чиб и Эдвард Гринберг.^[1]

Пример: двумерный пробит

В обычной пробит-модели есть только одна двоичная зависимая переменная ${ displaystyle Y}$ и так только один скрытая переменная ${ displaystyle Y ^ {*}}$ используется. Напротив, в двумерной пробит-модели есть две двоичные зависимые переменные. ${ displaystyle Y_ {1}}$ и ${ displaystyle Y_ {2}}$, так что есть две скрытые переменные: ${ displaystyle Y_ {1} ^ {*}}$ и ${ displaystyle Y_ {2} ^ {*}}$Предполагается, что каждая наблюдаемая переменная принимает значение 1 тогда и только тогда, когда лежащая в основе непрерывная скрытая переменная принимает положительное значение:

${ displaystyle Y_ {1} = { begin {cases} 1 & { text {if}} Y_ {1} ^ {*}> 0, 0 & { text {else}}, end {cases}} }$

${ displaystyle Y_ {2} = { begin {cases} 1 & { text {if}} Y_ {2} ^ {*}> 0, 0 & { text {else}}, end {cases}} }$

с

${ displaystyle { begin {cases} Y_ {1} ^ {*} = X_ {1} beta _ {1} + varepsilon _ {1} Y_ {2} ^ {*} = X_ {2} beta _ {2} + varepsilon _ {2} end {case}}}$

и

${ displaystyle { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} end {bmatrix}} mid X sim { mathcal {N}} left ({ begin {bmatrix} 0 0 end {bmatrix}}, { begin {bmatrix} 1 & rho rho & 1 end {bmatrix}} right)}$

Подбор двумерной пробит-модели включает оценку значений ${ displaystyle beta _ {1}, beta _ {2},}$ и ${ displaystyle rho}$. Для этого вероятность модели должна быть максимальной. Эта вероятность

${ Displaystyle { begin {align} L ( beta _ {1}, beta _ {2}) = { Big (} prod & P (Y_ {1} = 1, Y_ {2} = 1 mid beta _ {1}, beta _ {2}) ^ {Y_ {1} Y_ {2}} P (Y_ {1} = 0, Y_ {2} = 1 mid beta _ {1}, бета _ {2}) ^ {(1-Y_ {1}) Y_ {2}} [8pt] & {} qquad P (Y_ {1} = 1, Y_ {2} = 0 mid beta _ {1}, beta _ {2}) ^ {Y_ {1} (1-Y_ {2})} P (Y_ {1} = 0, Y_ {2} = 0 mid beta _ {1} , beta _ {2}) ^ {(1-Y_ {1}) (1-Y_ {2})} { Big)} end {align}}}$

Подстановка скрытых переменных ${ displaystyle Y_ {1} ^ {*}}$ и ${ displaystyle Y_ {2} ^ {*}}$ в функциях вероятности и ведении журналов дает

${ displaystyle { begin {align} sum & { Big (} Y_ {1} Y_ {2} ln P ( varepsilon _ {1}> - X_ {1} beta _ {1}, varepsilon _ {2}> - X_ {2} beta _ {2}) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) Y_ {2} ln P ( varepsilon _ { 1} <- X_ {1} beta _ {1}, varepsilon _ {2}> - X_ {2} beta _ {2}) [4pt] & {} quad {} + Y_ {1 } (1-Y_ {2}) ln P ( varepsilon _ {1}> - X_ {1} beta _ {1}, varepsilon _ {2} <- X_ {2} beta _ {2} ) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) (1-Y_ {2}) ln P ( varepsilon _ {1} <- X_ {1} beta _ { 1}, varepsilon _ {2} <- X_ {2} beta _ {2}) { Big)}. End {align}}}$

После некоторой переписывания функция логарифмического правдоподобия становится:

${ displaystyle { begin {align} sum & { Big (} Y_ {1} Y_ {2} ln Phi (X_ {1} beta _ {1}, X_ {2} beta _ {2) }, rho) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) Y_ {2} ln Phi (-X_ {1} beta _ {1}, X_ {2 } beta _ {2}, - rho) [4pt] & {} quad {} + Y_ {1} (1-Y_ {2}) ln Phi (X_ {1} beta _ { 1}, - X_ {2} beta _ {2}, - rho) [4pt] & {} quad {} + (1-Y_ {1}) (1-Y_ {2}) ln Phi (-X_ {1} beta _ {1}, - X_ {2} beta _ {2}, rho) { Big)}. End {align}}}$

Обратите внимание, что ${ displaystyle Phi}$ это кумулятивная функция распределения из двумерное нормальное распределение. ${ displaystyle Y_ {1}}$ и ${ displaystyle Y_ {2}}$ в функции логарифмического правдоподобия наблюдаемые переменные равны единице или нулю.

Многовариантный пробит

В общем случае ${ displaystyle mathbf {y_ {i}} = (y_ {1}, ..., y_ {j}), (i = 1, ..., N)}$ где мы можем взять ${ displaystyle j}$ как выбор и ${ displaystyle i}$ как отдельные лица или наблюдения, вероятность наблюдения за выбором ${ displaystyle mathbf {y_ {i}}}$ является

${ Displaystyle { begin {align} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int _ {A_ {J}} cdots int _ {A_ {1}} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) dy_ {1} ^ {*} точки dy_ {J} ^ {*} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int mathbb {1} _ {y ^ { *} in A} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) d mathbf {y} _ {i} ^ {*} end {выровнено}}}$

Где ${ Displaystyle А = А_ {1} раз cdots раз А_ {J}}$ и,

${ displaystyle A_ {j} = { begin {case} (- infty, 0] & y_ {j} ^ {*} = 0 (0, infty) & y_ {j} ^ {*} = 1 конец {case}}}$

Функция логарифма правдоподобия в этом случае будет ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {N} log Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma)}$

Кроме ${ Displaystyle J leq 2}$ обычно не существует решения в замкнутой форме для интегралов в уравнении логарифмического правдоподобия. Вместо этого для моделирования вероятностей выбора могут использоваться методы моделирования. Методы, использующие выборку по важности, включают Алгоритм GHK (Гевеке, Хадживассилу, Макфадден и Кин),^[2] AR (accept-reject), метод Стерна. Существуют также подходы MCMC к этой проблеме, включая CRB (метод Чиба с Рао-Блэквеллизацией), CRT (Чиб, Риттер, Таннер), ARK (ядро принятия-отклонения) и ASK (ядро с адаптивной выборкой).^[3]. В Probit-LMM (Mandt, Wenzel, Nakajima et al.) Предлагается вариационный подход к масштабированию до больших наборов данных.^[4]

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Грин, Уильям Х., Эконометрический анализ, седьмое издание, Prentice-Hall, 2012.