Критерий Неванлиннаса - Википедия - Nevanlinnas criterion

В математика, Критерий Неванлинны в комплексный анализ, доказано в 1920 году финским математиком Рольф Неванлинна, характеризует голоморфный однолистные функции на единичный диск которые звездный. Неванлинна использовала этот критерий, чтобы доказать Гипотеза Бибербаха для звездообразных однолистных функций

Формулировка критерия

Однолистная функция час на единичном диске, удовлетворяющем час(0) = 0 и час'(0) = 1 является звездообразным, т.е. имеет изображение, инвариантное относительно умножения на действительные числа в [0,1], тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle zh ^ { prime} (z) / час (z)}$ имеет положительную реальную часть для |z| <1 и принимает значение 1 на 0.

Обратите внимание, что, применив результат к а•час(rz) критерий применим к любому диску |z| ж(0) = 0 и f '(0) ≠ 0.

Доказательство критерия

Позволять час(z) - звездообразная однолистная функция на |z| <1 с час(0) = 0 и час'(0) = 1.

За т <0, определим^[1]

{ displaystyle f_ {t} (z) = h ^ {- 1} (e ^ {- t} h (z)), ,}

полугруппа голоморфных отображений D в себя фиксация 0.

более того час это Функция Кенигса для полугруппы ж_т.

Посредством Лемма Шварца, |ж_т(z) | уменьшается как т увеличивается.

Следовательно

{ displaystyle partial _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} leq 0.}

Но, установив ш = ж_т(z),

{ Displaystyle partial _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} = 2 Re , { overline {f_ {t} (z)}} partial _ {t} f_ {t } (z) = 2 Re , { overline {w}} v (w),}

куда

{ displaystyle v (w) = - {h (w) over h ^ { prime} (w)}.}

Следовательно

{ Displaystyle Re , { overline {w}} {h (w) over h ^ { prime} (w)} geq 0.}

и так, разделив на |ш|²,

{ Displaystyle Re , {час (ш) над wh ^ { prime} (ш)} geq 0.}

Принимая взаимные и позволяя т перейти к 0 дает

{ Displaystyle Re , Z {ч ^ { prime} (Z) над ч (г)} GEQ 0}

для всех |z| <1. Поскольку левая часть гармоническая функция, то принцип максимума означает, что неравенство строгое.

И наоборот, если

{ Displaystyle г (г) = г {ч ^ { простое} (г) над ч (г)}}

имеет положительную реальную часть и грамм(0) = 1, тогда час может исчезнуть только в 0, где должен иметь простой нуль.

Сейчас же

{ Displaystyle partial _ { theta} arg h (re ^ {i theta}) = partial _ { theta} Im , log h (z) = Im , partial _ { theta} log h (z) = Im , { partial z over partial theta} cdot partial _ {z} log h (z) = Re , z {h ^ { prime } (z) над h (z)}.}

Таким образом, как z отслеживает круг ${ Displaystyle г = ре ^ {я тета}}$ , аргумент изображения ${ Displaystyle ч (ре ^ {я тета})}$ увеличивается строго. Посредством принцип аргумента, поскольку ${ displaystyle h}$ имеет простой ноль в 0, он обходит начало координат только один раз. Таким образом, внутренняя часть области, ограниченной кривой, которую он проводит, звездообразна. Если а точка внутри, то количество решений N(а) из h (z) = а с |z| < р дан кем-то

{ Displaystyle N (а) = {1 над 2 пи я} int _ {| z | = r} {h ^ { prime} (z) над h (z) -a} , dz. }

Поскольку это целое число, непрерывно зависит от а и N(0) = 1, это тождественно 1. Итак час однолистно и звездообразно в каждом диске |z| < р а значит везде.

Приложение к гипотезе Бибербаха

Лемма Каратеодори

Константин Каратеодори в 1907 г. доказал, что если

{ displaystyle g (z) = 1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2} + cdots.}

- голоморфная функция в единичном круге D с положительной действительной частью, тогда^[2]^[3]

{ displaystyle | b_ {n} | leq 2.}

На самом деле достаточно показать результат с помощью грамм заменен на грамм_р(z) = грамм(rz) для любого р <1, а затем перейти к пределу р = 1. В этом случае грамм продолжается до непрерывной функции на замкнутом круге с положительной вещественной частью и Формула Шварца