Функция Кенигса - Koenigs function

В математика, то Функция Кенигса - функция, возникающая в комплексный анализ и динамические системы. Представлен в 1884 году французским математиком Габриэль Кенигс, он дает каноническое представление в виде растяжения однолистное голоморфное отображение, или полугруппа сопоставлений, единичный диск в сложные числа в себя.

Существование и уникальность функции Кенигса

Позволять D быть единичный диск в комплексных числах. Позволять $ж$ быть голоморфная функция отображение D в себя, фиксируя точку 0, с $ж$ не тождественно 0 и $ж$ не автоморфизм D, т.е. Преобразование Мёбиуса определяется матрицей из SU (1,1).

Посредством Теорема Данжуа-Вольфа, $ж$ оставляет неизменным каждый диск |z | < р и итерации $ж$ сходятся равномерно на компактах к 0: на самом деле при 0 < $р$ < 1,

{ Displaystyle | е (г) | Leq М (г) | г |}

для |z | ≤ р с M(р ) <1. Кроме того $ж$ '(0) = $λ$ с 0 <| $λ$ | < 1.

Кенигс (1884) доказано, что существует единственная голоморфная функция час определено на D, называется Функция Кенигса, так что $час$ (0) = 0, $час$ '(0) = 1 и Уравнение Шредера доволен,

{ Displaystyle ч (е (г)) = е ^ { прайм} (0) ч (г) ~.}

Функция час является то единый предел на компакта нормализованных итераций, ${ displaystyle g_ {n} (z) = lambda ^ {- n} f ^ {n} (z)}$ .

Более того, если $ж$ однозначно, так же $час$ .^[1]^[2]

Как следствие, когда $ж$ (и поэтому $час$ ) однолистны, $D$ можно идентифицировать с открытым доменом $U = час (D)$ . При этой конформной идентификации отображение $ж$ становится умножением на $λ$ , расширение на $U$ .

Доказательство

Уникальность. Если $k$ является другим решением, то в силу аналитичности достаточно показать, что k = час около 0. Пусть

{ Displaystyle Н = К CIRC H ^ {- 1} (г)}

около 0. Таким образом ЧАС(0) =0, ЧАС'(0) = 1 и для |z | маленький,

{ Displaystyle лямбда ЧАС (Z) = Лямбда ч (к ^ {- 1} (г)) = ч (е (к ^ {- 1} (г)) = ч (к ^ {- 1} ( лямбда z) = H ( lambda z) ~.}

Подставляя в степенной ряд для

ЧАС

, следует, что

ЧАС (z) = z

около 0. Следовательно

час = k

около 0.

Существование. Если ${ Displaystyle F (z) = f (z) / lambda z,}$ затем по Лемма Шварца

{ Displaystyle | F (z) -1 | leq (1+ | lambda | ^ {- 1}) | z | ~.}

С другой стороны,

{ displaystyle g_ {n} (z) = z prod _ {j = 0} ^ {n-1} F (f ^ {j} (z)) ~.}

Следовательно грамм_п сходится равномерно при |z| ≤ р посредством М-тест Вейерштрасса поскольку

{ displaystyle sum sup _ {| z | leq r} | 1-F circ f ^ {j} (z) | leq (1+ | lambda | ^ {- 1}) sum M ( г) ^ {j} < infty.}

Однолистность. К Теорема Гурвица, поскольку каждый грамм^п однолистно и нормализовано, т.е. фиксирует 0 и имеет там производную 1, их предел $час$ также однозначно.

Функция Кенигса полугруппы

Позволять $ж т (z)$ - полугруппа голоморфных однолистных отображений $D$ в себя фиксация 0, определенного для $т \in [0, \infty)$ такой, что

${ displaystyle f_ {s}}$ не является автоморфизмом для $s$ > 0
${ displaystyle f_ {s} (f_ {t} (z)) = f_ {t + s} (z)}$
${ displaystyle f_ {0} (z) = z}$
${ displaystyle f_ {t} (z)}$ совместно непрерывно в $т$ и $z$

Каждый $ж s$ с $s$ > 0 имеет ту же функцию Кенигса, ср. повторяющаяся функция. Фактически, если час функция Кенигса $ж = ж 1$ , тогда $час (ж s (z))$ удовлетворяет уравнению Шредера и, следовательно, пропорционален час.

Взятие производных дает

{ displaystyle h (f_ {s} (z)) = f_ {s} ^ { prime} (0) h (z).}

Следовательно $час$ функция Кенигса $ж s$ .

Строение однолистных полугрупп

В домене $U = час (D)$ , карты $ж s$ стать умножением на ${ displaystyle lambda (s) = f_ {s} ^ { prime} (0)}$ , непрерывная полугруппа. ${ displaystyle lambda (s) = e ^ { mu s}}$ куда $μ$ является однозначно определенным решением $е μ = λ$ с Re $μ$ <0. Отсюда следует, что полугруппа дифференцируема в 0. Пусть