Неабелево калибровочное преобразование - Non-abelian gauge transformation

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Июнь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Неабелево калибровочное преобразование»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Апрель 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теоретическая физика, а неабелево калибровочное преобразование означает калибровочное преобразование принимая ценности в некоторых группа грамм, элементы которых не подчиняются коммутативный закон когда они умножаются. Напротив, первоначальный выбор группа датчиков в физике электромагнетизм был U (1), который коммутативен.

Для неабелев Группа Ли грамм, его элементы не коммутируют, т.е. нет удовлетворить

${ Displaystyle а * Ь = Ь * а ,}$.

В кватернионы ознаменовало введение в математику неабелевых структур.

В частности, его генераторы ${ Displaystyle т ^ {а}}$, составляющих основу векторное пространство из бесконечно малые преобразования (в Алгебра Ли ), имеют правило коммутации:

${ displaystyle left [t ^ {a}, t ^ {b} right] = t ^ {a} t ^ {b} -t ^ {b} t ^ {a} = C ^ {abc} t_ { c}.}$

В структурные константы ${ displaystyle C ^ {abc}}$ количественно оценить отсутствие коммутативности и не исчезнуть. Мы можем сделать вывод, что структурные константы антисимметричны по первым двум индексам и действительны. Обычно выбирается нормализация (с помощью Дельта Кронекера ) в качестве

${ displaystyle Tr (t ^ {a} t ^ {b}) = { frac {1} {2}} delta ^ {ab}.}$

В рамках этого ортонормированный базис, то структурные константы антисимметричны по всем трем индексам.

Элемент ${ displaystyle omega}$ группы можно выразить около элемент идентичности в виде

${ displaystyle omega = exp ( theta ^ {a} t ^ {a})}$,

куда ${ Displaystyle theta ^ {а}}$ параметры преобразования.

Позволять ${ Displaystyle varphi (х)}$ - поле, ковариантно преобразующееся в данном представлении ${ Displaystyle Т ( omega)}$. Это означает, что при преобразовании мы получаем

${ displaystyle varphi (x) to varphi '(x) = T ( omega) varphi (x).}$

Поскольку любое представление компактная группа эквивалентно унитарное представительство, мы принимаем

${ Displaystyle Т ( omega)}$

быть унитарная матрица без ограничения общности. Мы предполагаем, что лагранжиан ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ зависит только от поля ${ Displaystyle varphi (х)}$ и производная ${ Displaystyle partial _ { mu} varphi (х)}$:

${ displaystyle { mathcal {L}} = { mathcal {L}} { big (} varphi (x), partial _ { mu} varphi (x) { big)}.}$

Если элемент группы ${ displaystyle omega}$ не зависит от координат пространства-времени (глобальная симметрия), производная преобразованного поля эквивалентна преобразованию производных поля:

${ Displaystyle partial _ { mu} T ( omega) varphi (x) = T ( omega) partial _ { mu} varphi (x).}$

Таким образом, поле ${ displaystyle varphi}$ и его производное преобразование таким же образом. По унитарности представления скалярные произведения подобно ${ displaystyle ( varphi, varphi)}$, ${ Displaystyle ( partial _ { mu} varphi, partial _ { mu} varphi)}$ или же ${ Displaystyle ( varphi, partial _ { mu} varphi)}$ инвариантны относительно глобального преобразования неабелевой группы.

Любой лагранжиан, построенный из таких скалярных произведений, глобально инвариантен:

${ displaystyle { mathcal {L}} { big (} varphi (x), partial _ { mu} varphi (x) { big)} = { mathcal {L}} { big ( } T ( omega) varphi (x), T ( omega) partial _ { mu} varphi (x) { big)}.}.$