Теорема о несжимаемости - Википедия - Non-squeezing theorem

В теорема о несжимании, также называемый Теорема Громова о невыжимании, является одной из важнейших теорем в симплектическая геометрия.^[1] Впервые это было доказано в 1985 г. Михаил Громов.^[2] Теорема утверждает, что нельзя вставить шар в цилиндр с помощью симплектическая карта если радиус шара не меньше или равен радиусу цилиндра. Важность этой теоремы заключается в следующем: очень мало было известно о геометрии, лежащей в основе симплектические преобразования.

Простое следствие того, что преобразование является симплектическим, состоит в том, что оно сохраняет объем.^[3] Шар любого радиуса легко вложить в цилиндр любого другого радиуса с помощью сохраняющий объем трансформация: просто картинка выдавливание шар в цилиндр (отсюда и название теоремы о несжимании). Таким образом, теорема о несжимаемости говорит нам, что, хотя симплектические преобразования сохраняют объем, для преобразования гораздо более жестко быть симплектическим, чем для сохранения объема.

Предпосылки и заявление

Начнем с рассмотрения симплектических пространств

${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n} = {z = (x_ {1}, ldots, x_ {n}, y_ {1}, ldots, y_ {n}) },}$

шар радиуса р: ${ Displaystyle B (R) = {z in mathbb {R} ^ {2n} | | z |$

и цилиндр радиуса р: ${ Displaystyle Z (г) = {z in mathbb {R} ^ {2n} ~ | ~ x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} ~ | ~$

каждый наделен симплектическая форма

${ displaystyle omega = dx_ {1} wedge dy_ {1} + cdots + dx_ {n} wedge dy_ {n}.}$

Примечание. Выбор осей для цилиндра не является произвольным, учитывая фиксированную симплектическую форму выше; а именно, каждая окружность цилиндра лежит в симплектическом подпространстве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$.

Теорема о несжимаемости говорит нам, что если мы сможем найти симплектическое вложение φ : B(р) → Z(р) тогда р ≤ р.

«Симплектический верблюд»

Теорема Громова о несжимаемости получила также название принцип симплектического верблюда поскольку Ян Стюарт упомянул об этом, сославшись на притчу о верблюд и игольное ушко.^[4] В качестве Морис А. де Госсон состояния:

Итак, почему мы упоминаем симплектического верблюда в названии этой статьи? Это связано с тем, что теорему Громова можно переформулировать следующим образом: деформировать фазовое пространство мяч с использованием канонические преобразования таким образом, чтобы мы могли пропустить его через отверстие в плоскости сопряженных координат ${ displaystyle x_ {j}}$ , ${ displaystyle p_ {j}}$ если площадь этой лунки меньше, чем площадь поперечного сечения этого мяча.

— Морис А. де Госсон, Симплектический верблюд и принцип неопределенности: верхушка айсберга?^[5]

По аналогии:

Интуитивно понятно, что объем в фазовом пространстве не может быть растянут относительно одной конкретной симплектической плоскости больше, чем позволяет его «симплектическая ширина». Другими словами, симплектического верблюда невозможно втиснуть в игольное ушко, если игла достаточно мала. Это очень мощный результат, который тесно связан с гамильтоновой природой системы и представляет собой совершенно иной результат, чем Теорема Лиувилля, который интересует только общий объем и не накладывает никаких ограничений на форма.

— Андреа Чензи, Симплектические верблюды и анализ неопределенности^[6]

Де Госсон показал, что теорема о несжимаемости тесно связана с Неравенство Робертсона – Шредингера – Гейзенберга., обобщение Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В Неравенство Робертсона – Шредингера – Гейзенберга. утверждает, что:

${ displaystyle var (Q) var (P) geq cov ^ {2} (Q, P) + left ({ frac { hbar} {2}} right) ^ {2}}$

с Q и P канонические координаты и вар и cov функции дисперсии и ковариации.^[7]

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Морис А. де Госсон: Симплектическое яйцо, arXiv: 1208.5969v1, поданная 29 августа 2012 г. - включает доказательство варианта теоремы для случая линейный канонические преобразования
• Дуса Макдафф: Что такое симплектическая геометрия?, 2009