Ортоптический (геометрия) - Orthoptic (geometry)

в геометрия из кривые, ортоптический это набор точек, для которых два касательные данной кривой пересекаются под прямым углом.

Ортоптик параболы - ее направляющая (фиолетовая).

Эллипс и его ортоптик (фиолетовый)

Гипербола с ортопедической (пурпурный)

Примеры:

1. Ортоптик парабола его директриса (доказательство: см. ниже ),
2. Ортоптик эллипс Икс²/а² + у²/б² = 1 это режиссерский кружок Икс² + у² = а² + б² (видеть ниже ),
3. Ортоптик гипербола Икс²/а² − у²/б² = 1, а > б, это круг Икс² + у² = а² − б² (в случае а ≤ б ортогональных касательных нет, см. ниже ),
4. Ортоптик астроид Икс^​2⁄₃ + у^​2⁄₃ = 1 это четырехлистник с полярным уравнением

${ Displaystyle г = { tfrac {1} { sqrt {2}}} соз (2 varphi), quad 0 leq varphi <2 pi}$

(видеть ниже ).

Обобщения:

1. An изоптический - это множество точек, для которых две касательные данной кривой пересекаются в фиксированный угол (видеть ниже ).
2. An изоптический из два плоские кривые - это множество точек, для которых две касательные пересекаются в фиксированный угол.
3. Теорема Фалеса на аккорде PQ можно рассматривать как ортоптику двух окружностей, которые вырождаются в две точки п и Q.

Ортоптик параболы

Любую параболу можно преобразовать жесткое движение (углы не меняются) в параболу с уравнением ${ displaystyle y = ax ^ {2}}$. Наклон в точке параболы равен ${ displaystyle m = 2ax}$. Замена ${ displaystyle x}$ дает параметрическое представление параболы с касательным наклоном в качестве параметра: ${ displaystyle ({ tfrac {m} {2a}}, { tfrac {m ^ {2}} {4a}}) ;.}$ Касательная имеет уравнение ${ displaystyle y = mx + n}$ с еще неизвестным ${ displaystyle n}$, который можно определить, подставив координаты точки параболы. Один получает ${ displaystyle y = mx - { tfrac {m ^ {2}} {4a}} ;.}$

Если касательная содержит точку (Икс₀, у₀), вне параболы, то уравнение

${ displaystyle y_ {0} = mx_ {0} - { frac {m ^ {2}} {4a}} quad rightarrow quad m ^ {2} -4ax_ {0} ; m + 4ay_ {0 } = 0}$

имеет два решения м₁ и м₂ соответствующие двум касательным, проходящим (Икс₀, у₀). Свободный член приведенного квадратного уравнения всегда является произведением его решений. Следовательно, если касательные пересекаются в (Икс₀, у₀) ортогонально выполняются следующие уравнения:

${ displaystyle m_ {1} m_ {2} = - 1 = 4ay_ {0}}$

Последнее уравнение эквивалентно

${ displaystyle y_ {0} = - { frac {1} {4a}} ;,}$

что является уравнением директриса.

Ортоптик эллипса и гиперболы

Эллипс

Позволять ${ displaystyle ; E: ; { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 ; }$ быть эллипсом рассмотрения.

(1) Касательные к эллипсу ${ displaystyle E}$ в соседних вершинах пересекаются в одной из 4 точек ${ displaystyle ( pm a, pm b)}$, лежащие на искомой ортоптической кривой (кружок ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$).

(2) Касательная в точке ${ Displaystyle (и, v)}$ эллипса ${ displaystyle E}$ имеет уравнение ${ displaystyle { tfrac {u} {a ^ {2}}} x + { tfrac {v} {b ^ {2}}} y = 1}$ (с. Эллипс ). Если точка не является вершиной, это уравнение можно решить: ${ displaystyle y = - { tfrac {b ^ {2} u} {a ^ {2} v}} ; x ; + ; { tfrac {b ^ {2}} {v}} ;.}$

Использование сокращений ${ displaystyle (I) ; m = - { tfrac {b ^ {2} u} {a ^ {2} v}}, ; { color {red} n = { tfrac {b ^ {2 }} {v}}} ;}$ и уравнение ${ displaystyle ; { color {blue} { tfrac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} = 1 - { tfrac {v ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 - { tfrac {b ^ {2}} {n ^ {2}}}} ;}$ получается:

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {b ^ {4} u ^ {2}} {a ^ {4} v ^ {2}}} = { frac {1} {a ^ {2} }} { color {красный} { frac {b ^ {4}} {v ^ {2}}}} { color {blue} { frac {u ^ {2}} {a ^ {2}} }} = { frac {1} {a ^ {2}}} { color {red} n ^ {2}} { color {blue} (1 - { frac {b ^ {2}} {n ^ {2}}})} = { frac {n ^ {2} -b ^ {2}} {a ^ {2}}} ;.}$

Следовательно ${ displaystyle (II) ; n = pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ и уравнение не вертикальной касательной имеет вид

${ displaystyle y = m ; x ; pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

Решение отношений ${ displaystyle (I)}$ за ${ displaystyle u, v}$ и уважая ${ Displaystyle (II)}$ приводит к параметрическому представлению эллипса в зависимости от наклона:

${ displaystyle (u, v) = (- { tfrac {ma ^ {2}} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} ; , ; { tfrac {b ^ {2}} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}) . }$ (Другое доказательство: см. Эллипс.)

Если касательная содержит точку ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$, вне эллипса, то уравнение

${ displaystyle y_ {0} = mx_ {0} pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

держит. Удаление квадратного корня приводит к

${ displaystyle m ^ {2} - { frac {2x_ {0} y_ {0}} {x_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}} m + { frac {y_ {0} ^ { 2} -b ^ {2}} {x_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}} = 0,}$

который имеет два решения ${ displaystyle m_ {1}, m_ {2}}$ соответствующие двум касательным, проходящим ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$. Постоянный член монического квадратного уравнения всегда является произведением его решений. Следовательно, если касательные пересекаются в ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ортогонально выполняются следующие уравнения:

Ортоптика (красные кружки) круга, эллипсов и гипербол

${ displaystyle m_ {1} m_ {2} = - 1 = { frac {y_ {0} ^ {2} -b ^ {2}} {x_ {0} ^ {2} -a ^ {2}} }}$

Последнее уравнение эквивалентно

${ displaystyle x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} ;.}$

Из (1) и (2) получается:

• Точки пересечения ортогональных касательных - это точки окружности ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$ .

Гипербола

Случай эллипса может быть почти точно принят случаем гиперболы. Единственные изменения, которые необходимо внести, - это заменить ${ displaystyle b ^ {2}}$ с ${ displaystyle -b ^ {2}}$ и ограничить м к |м| > б/а. Следовательно:

• Точки пересечения ортогональных касательных - это точки окружности ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2}}$, куда а > б.

Ортоптик астроиды

Ортоптические (пурпурные) астроиды

Астроиду можно описать параметрическим представлением

${ displaystyle { vec {c}} (t) = left ( cos ^ {3} t, sin ^ {3} t right), quad 0 leq t <2 pi}$.

Из условия

${ displaystyle { vec { dot {c}}} (t) cdot { vec { dot {c}}} (t + alpha) = 0}$

узнают расстояние α в пространстве параметров, в котором ортогональная касательная к ċ→(т) появляется. Оказывается, расстояние не зависит от параметра т, а именно α = ± π/2. Уравнения (ортогональных) касательных в точках c→(т) и c→(т + π/2) соответственно:

${ displaystyle { begin {align} y & = - tan t left (x- cos ^ {3} t right) + sin ^ {3} t, y & = { frac {1} { tan t}} left (x + sin ^ {3} t right) + cos ^ {3} t. end {align}}}$

Их общая точка имеет координаты:

${ Displaystyle { begin {выровнен} х & = грех т соз т ( грех т- соз т), у & = грех т соз т ( грех т + соз т). }}}$

Это одновременно параметрическое представление ортоптики.

Устранение параметра т дает неявное представление

${ displaystyle 2 left (x ^ {2} + y ^ {2} right) ^ {3} - left (x ^ {2} -y ^ {2} right) ^ {2} = 0. }$

Представляем новый параметр φ = т − 5π/4 один получает

${ displaystyle { begin {align} x & = { tfrac {1} { sqrt {2}}} cos (2 varphi) cos varphi, y & = { tfrac {1} { sqrt {2}}} cos (2 varphi) sin varphi. End {align}}}$

(Доказательство использует сумма углов и тождества разности.) Отсюда получаем полярное представление

${ Displaystyle г = { tfrac {1} { sqrt {2}}} соз (2 varphi), quad 0 leq varphi <2 pi}$

ортоптического. Следовательно:

• Ортоптик астроиды - это четырехлистник.

Изоптика параболы, эллипса и гиперболы

Изоптика (фиолетовый) параболы для углов 80 ° и 100 °

Изоптика (фиолетовый) эллипса для углов 80 ° и 100 °

Изоптика (фиолетовый) гиперболы для углов 80 ° и 100 °

Ниже изотопы для углов α ≠ 90° перечислены. Они называются α-изоптика. Доказательства см. ниже.

Уравнения изоптики

Парабола:

В α-изоптика параболы с уравнением у = топор² ветви гиперболы

${ displaystyle x ^ {2} - tan ^ {2} alpha left (y + { frac {1} {4a}} right) ^ {2} - { frac {y} {a}} = 0.}$

Ветви гиперболы обеспечивают изоптику для двух углов. α и 180° − α (см. рисунок).

Эллипс:

В α-изоптика эллипса с уравнением Икс²/а² + у²/б² = 1 две части кривой степени 4

${ displaystyle left (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} right) ^ {2} tan ^ {2} alpha = 4 left (a ^ {2} y ^ {2} + b ^ {2} x ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2} right)}$

(см. рисунок).

Гипербола:

В α-изоптика гиперболы с уравнением Икс²/а² − у²/б² = 1 две части кривой степени 4

${ displaystyle left (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} + b ^ {2} right) ^ {2} tan ^ {2} alpha = 4 left (a ^ {2} y ^ {2} -b ^ {2} x ^ {2} + a ^ {2} b ^ {2} right).}$

Доказательства

Парабола:

Парабола у = топор² можно параметризовать наклоном его касательных м = 2топор:

${ displaystyle { vec {c}} (m) = left ({ frac {m} {2a}}, { frac {m ^ {2}} {4a}} right), quad m в mathbb {R}.}$

Касательная с наклоном м имеет уравнение

${ displaystyle y = mx - { frac {m ^ {2}} {4a}}.}$

Смысл (Икс₀, у₀) находится на касательной тогда и только тогда, когда

${ displaystyle y_ {0} = mx_ {0} - { frac {m ^ {2}} {4a}}.}$

Это значит, что склоны м₁, м₂ двух касательных, содержащих (Икс₀, у₀) выполнить квадратное уравнение

${ displaystyle m ^ {2} -4ax_ {0} m + 4ay_ {0} = 0.}$

Если касательные встречаются под углом α или же 180° − α, уравнение

${ displaystyle tan ^ {2} alpha = left ({ frac {m_ {1} -m_ {2}} {1 + m_ {1} m_ {2}}} right) ^ {2}}$

должно быть выполнено. Решение квадратного уравнения относительно м, и вставив м₁, м₂ в последнем уравнении получаем

${ displaystyle x_ {0} ^ {2} - tan ^ {2} alpha left (y_ {0} + { frac {1} {4a}} right) ^ {2} - { frac { y_ {0}} {a}} = 0.}$

Это уравнение гиперболы выше. Его ветви несут две изоптики параболы для двух углов. α и 180° − α.

Эллипс:

В случае эллипса Икс²/а² + у²/б² = 1 можно принять идею ортоптики для квадратного уравнения

${ displaystyle m ^ {2} - { frac {2x_ {0} y_ {0}} {x_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}} m + { frac {y_ {0} ^ { 2} -b ^ {2}} {x_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}} = 0.}$

Теперь, как и в случае с параболой, нужно решить квадратное уравнение и два решения м₁, м₂ необходимо вставить в уравнение

${ displaystyle tan ^ {2} alpha = left ({ frac {m_ {1} -m_ {2}} {1 + m_ {1} m_ {2}}} right) ^ {2}. }$

Перестановка показывает, что изоптики являются частями кривой четвертой степени:

${ displaystyle left (x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} right) ^ {2} tan ^ {2} alpha = 4 left (a ^ {2} y_ {0} ^ {2} + b ^ {2} x_ {0} ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2} right).}$

Гипербола:

Решение для случая гиперболы можно взять из случая эллипса, заменив б² с −б² (как и в случае ортопедии, см.над ).

Для визуализации изоптики см. неявная кривая.

внешняя ссылка

• Специальные плоские кривые.
• Mathworld
• Кривые Яна Вассенаара
• "Изоптическая кривая" в MathCurve
• «Ортоптическая кривая» в MathCurve

Примечания

Рекомендации

• Лоуренс, Дж. Деннис (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. стр.58–59. ISBN  0-486-60288-5.
• Одегнал, Борис (2010). «Эквиоптические кривые конических сечений» (PDF). Журнал геометрии и графики. 14 (1): 29–43.
• Шааль, Герман (1977). "Lineare Algebra und Analytische Geometrie". III. Просмотр: 220. ISBN  3-528-03058-5. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
• Штайнер, Якоб (1867). Vorlesungen über Synthetische Geometrie. Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. Часть 2, с. 186.
• Тернулло, Маурицио (2009). «Два новых набора совпадающих точек, связанных с эллипсом». Журнал геометрии. 94: 159–173.