Колебательный интеграл - Википедия - Oscillatory integral

В математический анализ ан колебательный интеграл это тип распределение. Осциллирующие интегралы содержат множество строгих аргументов, которые на наивном уровне, похоже, используют расходящиеся интегралы. Операторы приближенного решения многих дифференциальных уравнений можно представить в виде осциллирующих интегралов.

Определение

Колебательный интеграл ${ displaystyle f (x)}$ записывается формально как

{ Displaystyle е (х) = int е ^ {я фи (х, xi)} , а (х, xi) , mathrm {d} xi}

куда ${ Displaystyle фи (х, хи)}$ и ${ Displaystyle а (х, хи)}$ являются функциями, определенными на ${ Displaystyle mathbb {R} _ {x} ^ {n} times mathrm {R} _ { xi} ^ {N}}$ со следующими свойствами.

1) Функция

{ displaystyle phi}

реально ценится, положительный однородный степени 1 и бесконечно дифференцируемо вне

{ Displaystyle { xi = 0 }}

. Также мы предполагаем, что

{ displaystyle phi}

нет никаких критические точки на поддерживать из

{ displaystyle a}

. Такая функция,

{ displaystyle phi}

обычно называется фазовая функция. В некоторых контекстах рассматриваются более общие функции, которые все еще называются фазовыми функциями.

2) Функция

{ displaystyle a}

принадлежит к одному из классы символов

{ Displaystyle S_ {1,0} ^ {m} ( mathbb {R} _ {x} ^ {n} times mathrm {R} _ { xi} ^ {N})}

для некоторых

{ displaystyle m in mathbb {R}}

. Интуитивно эти классы символов обобщают понятие положительно однородных функций степени

{ displaystyle m}

. Как и в случае с фазовой функцией

{ displaystyle phi}

, в некоторых случаях функция

{ displaystyle a}

относится к более общим или просто другим классам.

Когда ${ displaystyle m <-N}$ формальный интеграл, определяющий ${ displaystyle f (x)}$ сходится для всех ${ displaystyle x}$ и нет необходимости в дальнейшем обсуждении определения ${ displaystyle f (x)}$ . Однако когда ${ Displaystyle м geq -N}$ колебательный интеграл по-прежнему определяется как распределение на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ даже если интеграл может не сходиться. В этом случае распределение ${ displaystyle f (x)}$ определяется с использованием того факта, что ${ displaystyle a (x, xi) in S_ {1,0} ^ {m} ( mathbb {R} _ {x} ^ {n} times mathrm {R} _ { xi} ^ { N})}$ могут быть аппроксимированы функциями, имеющими экспоненциальный спад в ${ displaystyle xi}$ . Один из возможных способов сделать это - установить

{ Displaystyle е (х) = lim limits _ { epsilon rightarrow 0 ^ {+}} int e ^ {я phi (x, xi)} , a (x, xi) e ^ {- epsilon | xi | ^ {2} / 2} , mathrm {d} xi}

где предел взят в смысле умеренные распределения. Используя интегрирование по частям, можно показать, что этот предел хорошо определен и что существует дифференциальный оператор ${ displaystyle L}$ так что полученное распределение ${ displaystyle f (x)}$ действуя на любом ${ displaystyle psi}$ в Пространство Шварца дан кем-то

{ Displaystyle langle f, psi rangle = int e ^ {я phi (x, xi)} L left (a (x, xi) , psi (x) right) , mathrm {d} х , mathrm {d} xi}

где этот интеграл абсолютно сходится. Оператор ${ displaystyle L}$ не определен однозначно, но может быть выбран таким образом, чтобы он зависел только от фазовой функции ${ displaystyle phi}$ , приказ ${ displaystyle m}$ символа ${ displaystyle a}$ , и ${ displaystyle N}$ . Фактически, учитывая любое целое число ${ displaystyle M}$ можно найти оператора ${ displaystyle L}$ так что подынтегральное выражение выше ограничено ${ Displaystyle C (1+ | xi |) ^ {- M}}$ за ${ displaystyle | xi |}$ достаточно большой. Это основная цель определения классы символов.

Примеры

Многие знакомые распределения можно записать в виде осциллирующих интегралов.

1) Теорема обращения Фурье означает, что дельта-функция,

{ Displaystyle дельта (х)}

равно

{ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {ix cdot xi} , mathrm {d } xi.}

Если мы применим первый метод определения этого осциллирующего интеграла сверху, а также преобразование Фурье гауссиана, мы получим хорошо известную последовательность функций, которые аппроксимируют дельта-функцию:

{ displaystyle delta (x) = lim _ { varepsilon rightarrow 0 ^ {+}} { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {ix cdot xi} e ^ {- varepsilon | xi | ^ {2} / 2} mathrm {d} xi = lim _ { varepsilon rightarrow 0 ^ { +}} { frac {1} {({ sqrt {2 pi varepsilon}}) ^ {n}}} e ^ {- | x | ^ {2} / (2 varepsilon)}.}

Оператор

{ displaystyle L}

в этом случае дается, например,

{ displaystyle L = { frac {(1- Delta _ {x}) ^ {k}} {(1+ | xi | ^ {2}) ^ {k}}}}

куда

{ displaystyle Delta _ {x}}

это Лапласиан с уважением к

{ displaystyle x}

переменные и

{ displaystyle k}

любое целое число больше, чем

{ Displaystyle (п-1) / 2}

. Действительно, с этим

{ displaystyle L}

у нас есть

{ Displaystyle langle delta, psi rangle = psi (0) = { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n} } e ^ {ix cdot xi} L ( psi) (x, xi) , mathrm {d} xi , mathrm {d} x,}

и этот интеграл абсолютно сходится.

2) Ядро Шварца любого дифференциального оператора можно записать в виде колебательного интеграла. Действительно, если

{ Displaystyle L = сумма пределы _ {| альфа | leq m} p _ { alpha} (x) D ^ { alpha}}

куда

{ displaystyle D ^ { alpha} = partial _ {x} ^ { alpha} / i ^ {| alpha |}}

, то ядро

{ displaystyle L}

дан кем-то

{ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {i xi cdot (xy)} sum ограничивает _ {| alpha | leq m} p _ { alpha} (x) , xi ^ { alpha} , mathrm {d} xi.}

Связь с лагранжевыми распределениями

Любое лагранжево распределение можно локально представить осциллирующими интегралами (см. Хёрмандер (1983) ). Наоборот, любой осциллирующий интеграл является лагранжевым распределением. Это дает точное описание типов распределений, которые могут быть представлены в виде осциллирующих интегралов.

Колебательный интеграл - Википедия - Oscillatory integral

Содержание

Определение

Примеры

Связь с лагранжевыми распределениями

Смотрите также

Рекомендации