Комплекс Пуанкаре - Википедия - Poincaré complex

В математике и особенно топология, а Комплекс Пуанкаре (назван в честь математика Анри Пуанкаре ) является абстракцией особый цепной комплекс из закрыто, ориентируемый многообразие.

Группы особых гомологий и когомологий замкнутого ориентируемого многообразия связаны соотношением Двойственность Пуанкаре. Двойственность Пуанкаре - это изоморфизм между гомологиями и группы когомологий. Цепной комплекс называется комплексом Пуанкаре, если его группы гомологии а группы когомологий обладают абстрактными свойствами двойственности Пуанкаре.^[1]

А Пространство Пуанкаре - топологическое пространство, особый цепной комплекс которого является комплексом Пуанкаре. Они используются в теория хирургии анализировать многообразие алгебраически.

Определение

Позволять ${ Displaystyle C = {C_ {i} }}$ быть цепной комплекс из абелевы группы, и предположим, что группы гомологий ${ displaystyle C}$ находятся конечно порожденный. Предположим, что существует карта ${ displaystyle Delta двоеточие C to C otimes C}$, называемый цепно-диагональным, со свойством ${ Displaystyle ( varepsilon otimes 1) Delta = (1 otimes varepsilon) Delta}$. Вот карта ${ Displaystyle varepsilon двоеточие C_ {0} to mathbb {Z}}$ обозначает кольцевой гомоморфизм известный как карта аугментации, который определяется следующим образом: если ${ displaystyle n_ {1} sigma _ {1} + cdots + n_ {k} sigma _ {k} in C_ {0}}$, тогда ${ displaystyle varepsilon (n_ {1} sigma _ {1} + cdots + n_ {k} sigma _ {k}) = n_ {1} + cdots + n_ {k} in mathbb {Z }}$.^[2]

Используя диагональ, как определено выше, мы можем формировать пары, а именно:

${ Displaystyle rho двоеточие H ^ {k} (C) otimes H_ {n} (C) to H_ {nk} (C), { text {where}} rho (x otimes y) = x нахмуриться y}$,

куда ${ displaystyle scriptstyle frown}$ обозначает крышка продукта.^[3]

Цепной комплекс C называется геометрический если цепь-гомотопия существует между ${ displaystyle Delta}$ и ${ displaystyle tau Delta}$, куда ${ displaystyle tau двоеточие C otimes C to C otimes C}$ это транспозиция / переворот, задаваемая ${ Displaystyle тау (a otimes b) = b otimes a}$.

Геометрический цепной комплекс называется алгебраическим. Комплекс Пуанкаре, размерности п, если существует бесконечноеупорядоченный элемент п-мерная группа гомологий, скажем ${ Displaystyle му ин Н_ {п} (С)}$, такие что отображения, заданные

${ Displaystyle ( хмуриться му) двоеточие H ^ {k} (C) to H_ {n-k} (C)}$

группа изоморфизмы для всех ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N}$. Эти изоморфизмы являются изоморфизмами двойственности Пуанкаре.^[4][5]

Пример

• В единственное число цепной комплекс ориентируемой, закрытой п-мерное многообразие ${ displaystyle M}$ является примером комплекса Пуанкаре, где изоморфизмы двойственности задаются заглушкой фундаментальным классом ${ Displaystyle [М] в Н_ {п} (М; mathbb {Z})}$.^[1]

Смотрите также

• Пространство Пуанкаре

Рекомендации

внешняя ссылка

• Классификация комплексов Пуанкаре через фундаментальные тройки на атласе многообразия