Примитивные уравнения - Primitive equations

В примитивные уравнения представляют собой набор нелинейных дифференциальные уравнения которые используются для аппроксимации глобального атмосферный поток и используются в большинстве атмосферные модели. Они состоят из трех основных систем балансовых уравнений:

1. А уравнение неразрывности: Представление о сохранении массы.
2. Сохранение импульса: Состоит из формы Уравнения Навье – Стокса которые описывают гидродинамическое течение на поверхности сферы в предположении, что вертикальное движение намного меньше горизонтального движения (гидростаз) и что глубина слоя жидкости мала по сравнению с радиусом сферы
3. А уравнение тепловой энергии: Связь общей температуры системы с источниками тепла и стоками

Примитивные уравнения могут быть линеаризованы для получения Приливные уравнения Лапласа, собственное значение задача, из которой может быть найдено аналитическое решение широтной структуры потока.

В общем, почти все формы примитивных уравнений связывают пять переменных ты, v, ω, Т, W, и их эволюция в пространстве и времени.

Впервые уравнения были записаны Вильгельм Бьеркнес.^[1]

Определения

• ${ displaystyle u}$ это зональный скорость (скорость в направлении восток / запад по касательной к сфере)
• ${ displaystyle v}$ - меридиональная скорость (скорость в направлении север / юг по касательной к сфере)
• ${ displaystyle omega}$ - вертикальная скорость в изобарических координатах
• ${ displaystyle T}$ это температура
• ${ displaystyle Phi}$ это геопотенциал
• ${ displaystyle f}$ это член, соответствующий Сила Кориолиса, и равно ${ Displaystyle 2 Омега грех ( фи)}$, куда ${ displaystyle Omega}$ - угловая скорость вращения Земли (${ displaystyle 2 pi / 24}$ радиан в звездный час), и ${ displaystyle phi}$ это широта
• ${ displaystyle R}$ это газовая постоянная
• ${ displaystyle p}$ это давление
• ${ displaystyle c_ {p}}$ это удельная теплоемкость на поверхности постоянного давления
• ${ displaystyle J}$ это высокая температура расход в единицу времени на единицу массы
• ${ displaystyle W}$ это осаждаемая вода
• ${ displaystyle Pi}$ это Функция Экснера
• ${ displaystyle theta}$ это потенциальная температура
• ${ displaystyle eta}$ это Абсолютная завихренность

Силы, вызывающие атмосферное движение

Силы которые вызывают атмосферное движение, включают градиент давления сила, сила тяжести, и вязкий трение. Вместе они создают силы, ускоряющие нашу атмосферу.

Сила градиента давления вызывает ускорение, заставляющее воздух перемещаться из областей с высоким давлением в области с низким давлением. Математически это можно записать так:

${ displaystyle { frac {f} {m}} = { frac {1} { rho}} { frac {dp} {dx}}.}$

Сила тяжести ускоряет объекты со скоростью примерно 9,8 м / с.² прямо к центру Земли.

Сила вязкого трения может быть аппроксимирована следующим образом:

${ Displaystyle f_ {r} = {е над a} {1 над rho} му влево ( набла cdot ( му набла v) + набла ( лямбда набла cdot v) верно).}$

Используя второй закон Ньютона, эти силы (обозначенные в приведенных выше уравнениях как ускорения, вызываемые этими силами) могут быть суммированы, чтобы получить уравнение движения, которое описывает эту систему. Это уравнение можно записать в виде:

${ displaystyle { frac {dv} {dt}} = - (1 / rho) nabla p-g (r / r) + f_ {r}}$

${ displaystyle g = g_ {e}. ,}$

Следовательно, чтобы завершить систему уравнений и получить 6 уравнений и 6 переменных:

• ${ Displaystyle { frac {dv} {dt}} = - (1 / rho) nabla pg (r / r) + (1 / rho) left [ nabla cdot ( mu nabla v) + набла ( лямбда набла cdot v) right]}$
• ${ displaystyle c_ {v} { frac {dT} {dt}} + p { frac {d alpha} {dt}} = q + f}$
• ${ displaystyle { frac {d rho} {dt}} + rho nabla cdot v = 0}$
• ${ displaystyle p = nT.}$

где n - это числовая плотность в молях, а T: = RT - значение температурного эквивалента в Джоулях / моль.

Формы примитивных уравнений

Точная форма примитивных уравнений зависит от вертикальная система координат выбран, например координаты давления, координаты каротажного давления, или же сигма координаты. Кроме того, переменные скорости, температуры и геопотенциала могут быть разложены на компоненты среднего и возмущения, используя Разложение Рейнольдса.

Координата давления в вертикальной декартовой тангенциальной плоскости

В этой форме давление выбирается в качестве вертикальной координаты, а горизонтальные координаты записываются для декартовой тангенциальной плоскости (то есть плоскости, касательной к некоторой точке на поверхности Земли). Эта форма не принимает во внимание кривизну Земли, но полезна для визуализации некоторых физических процессов, участвующих в формулировке уравнений, из-за ее относительной простоты.

Обратите внимание, что производные по времени капитала D являются материальные производные. Система состоит из пяти уравнений с пятью неизвестными.

• в невязкий (без трения) уравнения импульса:

${ displaystyle { frac {Du} {Dt}} - fv = - { frac { partial Phi} { partial x}}}$

${ displaystyle { frac {Dv} {Dt}} + fu = - { frac { partial Phi} { partial y}}}$

• в уравнение гидростатики, частный случай уравнения вертикального импульса, в котором вертикальное ускорение считается незначительным:

${ displaystyle 0 = - { frac { partial phi} { partial p}} - { frac {RT} {p}}}$

• в уравнение неразрывности, связывая горизонтальное расхождение / схождение с вертикальным движением в гидростатическом приближении (${ Displaystyle дп = - ро , д фи}$):

${ displaystyle { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial v} { partial y}} + { frac { partial omega} { partial p}} = 0 }$

• и уравнение термодинамической энергии, как следствие первый закон термодинамики

${ displaystyle { frac { partial T} { partial t}} + u { frac { partial T} { partial x}} + v { frac { partial T} { partial y}} + omega left ({ frac { partial T} { partial p}} - { frac {RT} {pc_ {p}}} right) = { frac {J} {c_ {p}}} }$

Когда включено заявление о сохранении вещества водяного пара, эти шесть уравнений образуют основу для любой схемы численного прогноза погоды.

Примитивные уравнения с использованием сигма-системы координат, полярная стереографическая проекция

Согласно Справочник национальной метеорологической службы № 1 - Факсимильные устройства, примитивные уравнения можно упростить до следующих уравнений:

• Зональный ветер:

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = eta v - { frac { partial Phi} { partial x}} - c_ {p} theta { frac { partial pi} { partial x}} - z { frac { partial u} { partial sigma}} - { frac { partial ({ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {2}})} { partial x}}}$

• Меридиональный ветер:

${ displaystyle { frac { partial v} { partial t}} = - eta { frac {u} {v}} - { frac { partial Phi} { partial y}} - c_ { p} theta { frac { partial pi} { partial y}} - z { frac { partial v} { partial sigma}} - { frac { partial ({ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {2}})} { partial y}}}$

• Температура:

${ displaystyle { frac { delta T} { partial t}} = { frac { partial T} { partial t}} + u { frac { partial T} { partial x}} + v { frac { partial T} { partial y}} + w { frac { partial T} { partial z}}}$

Первый член равен изменению температуры из-за приходящей солнечной радиации и исходящей длинноволновой радиации, которая меняется со временем в течение дня. Второй, третий и четвертый члены связаны с адвекцией. Кроме того, переменная Т с нижним индексом - изменение температуры на этой плоскости. Каждый Т на самом деле отличается и относится к соответствующему плану. Это делится на расстояние между точками сетки, чтобы получить изменение температуры с изменением расстояния. Если умножить на скорость ветра в этой плоскости, единицы кельвина на метр и метры в секунду дают кельвины в секунду. Сумма всех изменений температуры из-за движений в Икс, у, и z направления дают общее изменение температуры во времени.

• Осадочная вода:

${ displaystyle { frac { delta W} { partial t}} = u { frac { partial W} { partial x}} + v { frac { partial W} { partial y}} + ш { frac { partial W} { partial z}}}$

Это уравнение и обозначения работают примерно так же, как уравнение температуры. Это уравнение описывает движение воды из одного места в другое в точке без учета воды, меняющей форму. Внутри данной системы полное изменение воды со временем равно нулю. Однако концентрации могут перемещаться по ветру.

• Толщина давления:

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} { frac { partial p} { partial sigma}} = u { frac { partial} { partial x}} x { frac { partial p} { partial sigma}} + v { frac { partial} { partial y}} y { frac { partial p} { partial sigma}} + w { frac { partial} { partial z}} z { frac { partial p} { partial sigma}}}$

Эти упрощения значительно упрощают понимание того, что происходит в модели. Такие вещи, как температура (потенциальная температура), наличие осадков и, в некоторой степени, толщина давления, просто перемещаются из одного места на сетке в другое с ветром. Ветер прогнозируется несколько иначе. Он использует геопотенциал, удельную теплоемкость, функцию exner π, и изменение координаты сигмы.

Решение линеаризованных примитивных уравнений

В аналитическое решение к линеаризованным примитивным уравнениям включает синусоидальные колебания во времени и долготе, модулируемые коэффициенты относящиеся к высоте и широте.

${ displaystyle { begin {Bmatrix} u, v, phi end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} { hat {u}}, { hat {v}}, { hat { phi }} end {Bmatrix}} e ^ {i (s lambda + sigma t)}}$

куда s и ${ displaystyle sigma}$ зональные волновое число и угловая частота, соответственно. Решение представляет собой атмосферные волны и приливы.

Когда коэффициенты разделены на составляющие их высоты и широты, зависимость от высоты принимает форму распространения или мимолетные волны (в зависимости от условий), а зависимость от широты задается Функции Хафа.

Это аналитическое решение возможно только тогда, когда примитивные уравнения линеаризованы и упрощены. К сожалению, многие из этих упрощений (т.е. отсутствие рассеивания, изотермическая атмосфера) не соответствуют условиям в реальной атмосфере. В результате численное решение который учитывает эти факторы, часто рассчитывается с использованием модели общей циркуляции и климатические модели.

Смотрите также

• Барометрическая формула
• Климатическая модель
• Уравнения Эйлера
• Динамика жидкостей
• Модель общей циркуляции
• Численный прогноз погоды

Рекомендации

• Бенистон, Мартин. От турбулентности к климату: численные исследования атмосферы с иерархией моделей. Берлин: Springer, 1998.
• Ферт, Роберт. Построение и точность сетки мезомасштабных и микромасштабных метеорологических моделей. LSMSA, 2006.
• Томпсон, Филипп. Численный анализ и прогноз погоды. Нью-Йорк: Компания Macmillan, 1961.
• Пилке, Роджер А. Мезомасштабное метеорологическое моделирование. Орландо: Academic Press, Inc., 1984.
• Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальная метеорологическая служба. Справочник национальной метеорологической службы № 1 - Факсимильная связь. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство торговли, 1979.

внешняя ссылка

Национальная метеорологическая служба - сайт совместных исследований и обучения NCSU, Обзор примитивных уравнений.