Принцип ограниченного выбора - Principle of restricted choice

В контрактный мост, то принцип ограниченного выбора заявляет, что розыгрыш конкретной карты снижает вероятность того, что у игрока есть эквивалентная карта. Например, Юг ведет низкую пику, Запад играет низкую, Север играет королевой, Восток побеждает королем. Туз и король - равнозначные карты; Игра Востока короля уменьшает вероятность того, что у Востока есть туз, и увеличивает вероятность того, что у Запада есть туз. Этот принцип помогает другим игрокам сделать вывод о местонахождении ненаблюдаемых эквивалентных карт, таких как пиковый туз, после наблюдения за королем. Увеличение или уменьшение вероятности является примером Байесовское обновление по мере накопления доказательств и конкретных приложений с ограниченным выбором похожи на Проблема Монти Холла.

Джефф Рубенс (1964, 457) сформулировал принцип следующим образом: «Игра картой, которая могла быть выбрана как выбор равных ходов, увеличивает шанс того, что игрок начал с руки, в которой его выбор был ограничен». Что особенно важно, это помогает играть «в ситуациях, которые раньше считались догадками». Во многих из этих ситуаций вытекает из этого принципа правило: играть на раздельные почести. После просмотра одной эквивалентной карты, то есть следует продолжить игру, как если бы два эквивалента были разделены между противостоящими игроками, чтобы не было выбора, какую из них играть. Тот, кто играл первым, не имеет другого.

Когда количество эквивалентных карт больше двух, принцип усложняется, поскольку их эквивалентность может не проявляться. Когда у одного партнера, скажем, Q и ♣ 10, а у другого J, обычно верно, что эти три карты эквивалентны, но тот, у кого есть две из них, не знает об этом. Ограниченный выбор всегда вводится в виде двух соприкасающихся карт - последовательных рангов одной масти, например ♥QJ или ♦KQ - где эквивалентность очевидна.

Если нет причин предпочитать определенную карту (например, чтобы подать сигнал партнеру), игроку, имеющему две или более эквивалентных карт, иногда следует рандомизировать порядок их игры (см. примечание о равновесии по Нэшу). Вычисления вероятностей в покрытии ограниченного выбора часто принимают равномерную рандомизацию как должное, но это проблематично.

Принцип ограниченного выбора применяется даже к выбору оппонентом начального хода из эквивалентных мастей. См. Kelsey & Glauert (1980).

пример

Рассмотрим комбинация костюмов представлен на рисунке. Есть четыре карты лопат ♠8754 на юге (закрытая рука) и пять ♠AJ1096 на Севере (манекен, виден всем игрокам). Запад и Восток держат оставшиеся четыре пики ♠KQ32 в двух закрытых руках.

♠ А Дж 10 9 6

♠ 8 7 5 4

Юг ведет маленькую лопату, Запад играет ♠2 (или ♠3) манекен Норт играет ♠J, и Восток побеждает с ♠К. Позже, выиграв уловку с побочной мастью, Саут ведет еще одну маленькую лопату, а Запад следует за низкой с ♠3 (или ♠2). На данный момент, когда Север и Восток еще предстоит сыграть, расположение только ♠Вопрос не установлен. Лучше играть в манекены ♠A, надеясь отбросить ♠Q с востока или на ловкость снова с ♠10, надеясь сбросить ♠Вопрос с Запада о третьем раунде масти? То есть, должен ли разыгрывающий играть так, чтобы исходные карты защитников составляли 32 и KQ или Q32 и K? Принцип ограниченного выбора объясняет, почему последнее сейчас примерно в два раза вероятнее, так что изощренно, играя ♠10 почти в два раза больше шансов на успех.

2-2 Сплит		3-1 Сплит		Сплит 4: 0
Запад	Восток	Запад	Восток	Запад	Восток
KQ	32	KQ3	2	KQ32	—
K3	2 квартал	KQ2	3	—	KQ32
K2	3 квартал	K32	Q
3 квартал	K2	Q32	K
2 квартал	K3	K	Q32
32	KQ	Q	K32
		3	KQ2
		2	KQ3

Перед игрой с точки зрения Юга возможны 16 возможных владений лопатой на западе и востоке или "ложь". Они перечислены слева, отсортированные сначала по принципу «разделить» от равного до неравного количества карт, а затем по запасам Уэста от самого сильного к самому слабому.

После того, как Запад следует за второй пикой, что является моментом решения, упомянутого выше, только две из 16 оригинальных лжи остаются возможными (жирным шрифтом), поскольку Запад сыграл обе младшие карты, а Восток - король. На первый взгляд может показаться, что сейчас шансы равны 1: 1, так что Юг должен рассчитывать на одинаково хорошие результаты с любым из двух возможных продолжений.

Однако это не так, потому что если бы Восток ♠KQ, он с таким же успехом мог бы сыграть дамой вместо короля. Таким образом, некоторые сделки с исходной ложью 32 и KQ не достигли этой стадии; вместо этого они достигли бы параллельной стадии с ♠Отсутствует только K, Юг заметил 32 и Q. Напротив, каждая сделка с исходной ложью Q32 и K доходила до этой стадии, потому что Восток играл королем по воле (без выбора или «ограниченным выбором»).

Если Восток выиграет первую взятку с королем или королевой равномерно случайно от ♠KQ, тогда исходная ложь 32 и KQ достигают этой стадии в половине случаев и в половине случаев выбирают другую развилку. Таким образом, в реальной последовательности игры шансы не четные, а половина к одному, или 1: 2. Восток сохранит королеву от оригинала ♠KQ примерно в одной трети случаев и не сохраняет никаких пиковых значений от оригинала. ♠K примерно в двух третях случаев.

Важно отметить, что это предполагает, что у защитников нет системы сигналов, так что игра к западу от (скажем) тройки, за которой следует двойка, не сигнализирует о дуплтоне. В ходе многих аналогичных сделок Восток с ♠KQ теоретически должен выиграть первую взятку с королем или ферзем, равномерно случайным; то есть по половине без рисунка.^[1]

Более точный расчет шансов

Это попытка более точного расчета шансов, как объяснялось в предыдущем разделе.

Априори, четыре невыполненные карты «разделяются», как показано в первых двух столбцах таблицы. Например, три карты вместе, а четвертая - одна, «раскол 3-1» с вероятностью 49,74%. Чтобы понять «количество конкретной лжи», обратитесь к предыдущему списку всей лжи.

Трещина	Вероятность Сплита	Количество конкретная ложь	Вероятность конкретная ложь
2-2	40.70%	6	6.78%
3-1	49.74%	8	6.22%
4-0	9.57%	2	4.78%

Последний столбец дает априори вероятность любой конкретной исходной руки, такой как 32 и KQ; этот представлен первой строкой, охватывающей разделение 2–2. Другая ложь, показанная в нашем примере игры масти пик, Q32 и K, представлена ​​вторым рядом, охватывающим раскол 3–1.

Таким образом, таблица показывает, что априори шансы на эти две конкретные лжи не равны, а немного в пользу первого, примерно 6,78 к 6,22 для ♠KQ против ♠К.

Каковы шансы апостериорный, в момент истины в нашем примере масть пик? Если Восток делает с ♠KQ выигрывают первую взятку равномерно случайным образом с королем или королевой - и с ♠K выигрывает первую взятку с королем, не имея выбора - апостериорные шансы составляют 3,39 к 6,22, что немного больше 1: 2, в процентном отношении чуть больше 35% для ♠KQ. Играть в туз ♠Игрок с Севера во втором раунде должен выиграть около 35%, в то время как снова ловко с десятью ♠10 побед около 65%.

Принцип ограниченного выбора является общим, но этот конкретный расчет вероятности предполагает, что Восток выиграет с королем из ♠KQ ровно в половине случаев (что лучше всего). Если Восток победит с королем из ♠KQ более или менее в половине случаев, тогда Саут выигрывает более или менее 35%, играя тузом. Действительно, если Восток выигрывал с королем в 92% случаев (= 6,22 / 6,78), то Юг выигрывал 50%, играя тузом, и 50%, повторяя хитрость. Однако, если это правда, Юг выигрывает почти на 100%, повторяя хитрость после того, как Восток побеждает королевой - для королевы от тот восток игрок почти отрицает короля.

Еще лучше

Более полный подход будет рассматривать все варианты выбора, а не только выбор старшей карты из двух равных. В примере масти пик выбор младшей карты Западом из ♠32 и от ♠Q32 должен быть включен. 2 и 3 являются явно эквивалентными картами, которые Запад должен разыграть одинаково случайным образом из обеих исходных рук, то есть случайным образом в первых двух взятках, всегда сохраняя ферзя из ♠В32. Предыдущий расчет вероятности зависит от того, что делает Уэст.

Математическая теория

Принцип ограниченного выбора - это применение Теорема Байеса. Kp - король, которого Восток сыграл в первой взятке. KQ - Восток имеет KQ, K - Восток имеет K.

${ Displaystyle { begin {выровнен} P (KQ mid Kp) & = { frac {P (Kp mid KQ) P (KQ)} {P (Kp)}} P (K mid Kp) & = { frac {P (Kp mid K) P (K)} {P (Kp)}} P (Kp mid KQ) & = 0,5; P (Kp mid K) & = 1 ; P (K) приблизительно P (KQ); Стрелка влево P (K mid Kp) приблизительно 2 * P (KQ mid Kp) end {align}}}$

Первые 2 уравнения: Теорема Байеса, остальное - простая алгебра. Обратите внимание, что P (Kp | KQ) равно 0,5, потому что мы предположили, что Восток играет короля или ферзя с равной вероятностью, когда у него есть выбор.

Увеличение и уменьшение вероятности изначальной лжи противоположных карт по мере продолжения розыгрыша руки являются примерами Байесовское обновление по мере накопления доказательств.

Смотрите также

• Проблема Монти Холла

Заметки

дальнейшее чтение

• Келси, Хью; Глауэрт, Майкл (1980). Коэффициенты бриджа для практичных игроков. Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. С. 92–116. ISBN  0-575-02799-1.
• Фрей, Ричард Л .; Траскотт, Алан Ф., ред. (1964). Официальная энциклопедия моста (1-е изд.). Нью-Йорк: Crown Publishers, Inc., стр. 381-385. LCCN  64023817. Статья об ограниченном выборе была создана Джеффом Рубенсом в первой статье. Энциклопедия (Издание 1964 г.). В этом и последующих изданиях (например, на странице 381 6-го издания) Рубенс утверждает, что Риз в своей книге Мастер Игра "унифицированные" "основополагающие принципы ... впервые обсуждаемые Алан Траскотт в Журнал Contract Bridge"; он не указывает дату статьи Траскотта.
• Риз, Теренс (1958). Экспертная игра. Лондон: Edward Arnold (Publishers) Ltd. ISBN  0-575-02799-1. Опубликовано в США в 1960 году как Мастер Игра. Джордж Коффин (Уолтем, Массачусетс).

внешние ссылки

• «Проблема Монти Холла и принцип ограниченного выбора»
• «Мост парадоксов» Ричарда Павличека