Квазиабелева категория - Quasi-abelian category

В математика особенно в теория категорий, а квазиабелева категория это преабелева категория в которой выталкивание из ядро вдоль произвольных морфизмов снова является ядром и, соответственно, откат из коядро вдоль произвольных морфизмов снова является коядром.

Определение

Позволять ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ быть преабелева категория. Морфизм ${ displaystyle f}$ является ядро (коядро), если существует морфизм ${ displaystyle g}$ такой, что ${ displaystyle f}$ является ядром (коядром) ${ displaystyle g}$. Категория ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является квазиабелев если для каждого ядра ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ и каждый морфизм ${ displaystyle h: X rightarrow Z}$ на диаграмме выталкивания

${ displaystyle { begin {array} {ccc} X & { xrightarrow {f}} & Y downarrow _ {h} && downarrow _ {h '} Z & { xrightarrow {f'}} & Q конец {массив}}}$

морфизм ${ displaystyle f '}$ снова является ядром и, соответственно, для каждого коядра ${ displaystyle g: X rightarrow Y}$ и каждый морфизм ${ displaystyle h: Z rightarrow Y}$ на диаграмме отката

${ displaystyle { begin {array} {ccc} P & { xrightarrow {g '}} & Z downarrow _ {h'} ​​&& downarrow _ {h} X & { xrightarrow {g}} & Y конец {массив}}}$

морфизм ${ displaystyle g '}$ снова коядро.

Эквивалентно, квазиабелева категория - это преабелева категория, в которой система всех пар ядро-коядро образует точная структура.

Для преабелевой категории те ядра, которые устойчивы при произвольных вытеснениях, иногда называют полустабильные ядра. Двойственно коядра, устойчивые при произвольных откатах, называются полустабильные ядра коксования.^[1]

Характеристики

Позволять ${ displaystyle f}$ - морфизм в квазиабелевой категории. Тогда индуцированный морфизм ${ displaystyle { overline {f}}: operatorname {cok} operatorname {ker} f rightarrow operatorname {ker} operatorname {cok} f}$ всегда биморфизм, т.е. мономорфизм и эпиморфизм. Следовательно, квазиабелева категория всегда полуабелев.

Примеры

Каждые абелева категория квазиабелева. Типичные неабелевы примеры возникают в функциональном анализе.^[2]

• Категория Банаховы пространства квазиабелева.
• Категория Пространства фреше квазиабелева.
• Категория (Хаусдорф ) локально выпуклые пространства квазиабелева.

История

Понятие квазиабелевой категории было разработано в 1960-х годах. История замешана.^[3] В частности, это связано с Гипотеза Райкова, в котором говорилось, что понятие полуабелева категория эквивалентна квазиабелевой категории. Примерно в 2005 году выяснилось, что это предположение неверно.^[4]

Левая и правая квазиабелевы категории

Разделив два условия в определении, можно определить левые квазиабелевы категории требуя, чтобы коядра были устойчивы при откатах и правые квазиабелевы категории требуя, чтобы ядра были стабильными при выталкивании.^[5]

Цитаты

Рекомендации

• Фабьен Просманс, Производные категории для функционального анализа. Publ. Res. Inst. Математика. Sci. 36 (5–6), 19–83 (2000).
• Фред Ричман и Эльберт А. Уокер, Ext в доабелевых категориях. Pac. J. Math. 71 (2), 521–535 (1977).
• Вольфганг Рамп, Контрпример к гипотезе Райкова, Бюл. Лондонская математика. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Вольфганг Рамп, Почти абелевы категории, Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42 (3), 163–225 (2001).
• Вольфганг Рамп, Анализ проблемы Райкова с приложениями к бочкообразным и борнологическим пространствам, J. Pure and Appl. Алгебра 215 (2011), 44–52.
• Жан-Пьер Шнайдерс, Квазиабелевы категории и пучки, Mém. Soc. Математика. Пт. Nouv. Сэр. 76 (1999).