Квазифилд - Quasifield

В математика, а квазиполе является алгебраическая структура ${displaystyle (Q, +, cdot)}$ где + и ${displaystyle cdot}$ находятся бинарные операции на Q, как делительное кольцо, но с некоторыми более слабыми условиями. Все делительные кольца, а значит и все поля, являются квазиполями.

Определение

Квазиполе ${displaystyle (Q, +, cdot)}$ - структура, где + и ${displaystyle cdot,}$ являются бинарными операциями над Q, удовлетворяющими этим аксиомам:

${displaystyle (Q, +),}$ это группа
${displaystyle (Q_ {0}, cdot)}$ это петля, куда ${displaystyle Q_ {0} = Qsetminus {0},}$
${displaystyle acdot (b + c) = acdot b + acdot cquad forall a, b, cin Q}$ (оставили распределенность )
${displaystyle acdot x = bcdot x + c}$ имеет ровно одно решение ${displaystyle forall a, b, cin Q, aeq b}$

Строго говоря, это определение оставили квазиполе. А верно квазиполе определяется аналогично, но вместо этого удовлетворяет правой дистрибутивности. Квазиполе, удовлетворяющее обоим законам распределения, называется полуполе, в том смысле, в котором этот термин используется в проективная геометрия.

Хотя это и не предполагается, можно доказать, что из аксиом следует, что аддитивная группа ${displaystyle (Q, +)}$ является абелевский. Таким образом, при обращении к абелево квазиполе, один означает, что ${displaystyle (Q_ {0}, cdot)}$ абелева.

Ядро

Ядром K квазиполя Q называется множество всех элементов c, таких что:

${displaystyle acdot (bcdot c) = (acdot b) cdot cquad forall a, bin Q}$
${displaystyle (a + b) cdot c = (acdot c) + (bcdot c) quad forall a, bin Q}$

Ограничение бинарных операций + и ${displaystyle cdot}$ к K, можно показать, что ${displaystyle (K, +, cdot)}$ это делительное кольцо.

Теперь можно создать векторное пространство Q над K со следующим скалярным умножением: ${displaystyle votimes l = vcdot lquad forall vin Q, lin K}$

Поскольку конечное тело является конечным полем по Теорема Веддерберна, порядок ядра конечного квазиполя есть основная сила. Конструкция векторного пространства подразумевает, что порядок любого конечного квазиполя также должен быть степенью простого числа.

Примеры

Все тела и, следовательно, все поля являются квазителами.

Наименьшие квазитела абелевы и уникальны. Они конечные поля заказов до восьми включительно. Наименьшие квазитела, не являющиеся телами, - это четыре неабелевых квазитела девятого порядка; они представлены в Холл-младший (1959) и Вайбель (2007).

Проективные плоскости

Учитывая квазиполе ${displaystyle Q}$ , определим тернарное отображение ${displaystyle scriptstyle Tcolon Q imes Q imes Q o Q,}$ к

${displaystyle T (a, b, c) = acdot b + cquad forall a, b, cin Q}$

Затем можно проверить, что ${displaystyle (Q, T)}$ удовлетворяет аксиомам плоское тройное кольцо. Связано с ${displaystyle (Q, T)}$ это соответствующий проективная плоскость. Построенные таким образом проективные плоскости характеризуются следующим образом; подробности этого соотношения приведены в Холл-младший (1959). Проективная плоскость - это самолет перевода относительно бесконечно удаленной прямой тогда и только тогда, когда любое (или все) связанные с ней плоские тернарные кольца являются правыми квазителами. Это называется плоскость сдвига если какие-либо (или все) его тернарные кольца являются левыми квазителами.

Плоскость не определяет кольцо однозначно; все 4 неабелевых квазитела порядка 9 являются тернарными кольцами для единственной недезарговской плоскости трансляции порядка 9. Они отличаются основной четырехугольник используется для построения самолета (см. Weibel 2007).

История

Квазитела назывались в литературе «системами Веблена-Веддерберна» до 1975 года, поскольку они были впервые изучены в статье 1907 года (Веблен-Веддерберн 1907). О. Веблен и Дж. Веддерберн. Обзоры квазиполей и их приложения к проективные плоскости можно найти в Холл-младший (1959) и Вайбель (2007).

Смотрите также

внешняя ссылка

Квазиполя пользователя Hauke Klein.