Редукционная двойная пара - Reductive dual pair

В математической области теория представлений, а редуктивная двойная пара пара подгруппы (грамм, грамм') из группа изометрии Sp (W) из симплектическое векторное пространство W, так что грамм это централизатор из грамм′ В Sp (W) и наоборот, и эти группы действуют редуктивно на W. Несколько более свободно о двойственной паре говорят, когда две группы являются взаимными централизаторами в более крупной группе, которая часто является общая линейная группа. Концепция была представлена Роджер Хоу в Хау (1979). Его прочные связи с Классическая теория инвариантов обсуждаются в Хау (1989a).

Примеры

  • Полная симплектическая группа грамм = Sp (W) и двухэлементная группа грамм′, центр из Sp (W), образуют редуктивную двойственную пару. Свойство двойного централизатора ясно из способа определения этих групп: централизатор группы грамм в грамм является ее центром, а централизатором центра любой группы является сама группа. Группа грамм′, Состоит из тождественного преобразования и его отрицания и может интерпретироваться как ортогональная группа одномерного векторного пространства. Из последующего развития теории следует, что эта пара является первым примером общего семейства двойственных пар, состоящего из симплектической группы и ортогональной группы, которые известны как неприводимые редуктивные двойственные пары типа I.
  • Позволять Икс быть п-мерное векторное пространство, Y быть его двойной, и W быть прямая сумма из Икс и Y. потом W естественным образом превращается в симплектическое векторное пространство, так что (Икс, Y) - его лагранжева поляризация. Группа грамм общая линейная группа GL (Икс), который тавтологически действует на Икс и, наоборот, на Y. Централизатор грамм в симплектической группе - это группа грамм′, Состоящий из линейных операторов на W которые действуют на Икс умножением на ненулевой скаляр λ и на Y скалярным умножением на обратное ей λ−1. Тогда централизатор грамм', является граммэти две группы действуют полностью приводимо на W, и, следовательно, образуют редуктивную двойственную пару. Группа грамм′, Можно интерпретировать как общую линейную группу одномерного векторного пространства. Эта пара является членом семейства двойственных пар, состоящих из общих линейных групп, известных как неприводимые редуктивные двойственные пары типа II.

Теория строения и классификация

Понятие редуктивной дуальной пары имеет смысл над любым поле F, который мы считаем фиксированным на всем протяжении. Таким образом W симплектический векторное пространство над F.

Если W1 и W2 - два симплектических векторных пространства и (грамм1, грамм′1), (грамм2, грамм′2) - две редуктивные дуальные пары в соответствующих симплектических группах, то мы можем сформировать новое симплектическое векторное пространство W = W1 ⊕ W2 и пара групп грамм = грамм1 × грамм2, грамм′ = грамм′1 × грамм′,2 действующий на W по изометрии. Оказывается, что (грамм, грамм′) - редуктивная двойственная пара. Редуктивная двойственная пара называется сводимый если он может быть получен таким образом от более мелких групп, и несводимый иначе. Приводимая пара может быть разложена на прямое произведение неприводимых, и для многих целей достаточно ограничиться рассмотрением неприводимого случая.

Несколько классов редуктивных дуальных пар появилось ранее в работе Андре Вайль. Роджер Хоу доказал классификационную теорему, согласно которой в неприводимом случае эти пары исчерпывают все возможности. Неприводимая редуктивная двойственная пара (грамм, грамм′) В Sp (W) считается тип II если есть лагранжево подпространство Икс в W который инвариантен как при грамм и грамм', и из тип I иначе.

Архетипическая неприводимая редуктивная двойственная пара типа II состоит из пары общие линейные группы и возникает следующим образом. Позволять U и V быть двумя векторными пространствами над F, Икс = U ⊗F V - их тензорное произведение, а Y = HomF(Икс, F) это двойной. Тогда прямая сумма W = Икс ⊕ Y можно наделить симплектической формой такой, что Икс и Y являются лагранжевыми подпространствами, а ограничение симплектической формы на Икс × Y ⊂ W × W совпадает со спариванием между векторным пространством Икс и его двойная Y. Если грамм = GL (U) и грамм′ = GL (V), то обе эти группы действуют линейно на Икс и Y, действия сохраняют симплектическую форму на W, и (грамм, грамм′) - неприводимая редуктивная двойственная пара. Обратите внимание, что Икс является инвариантным лагранжевым подпространством, следовательно, эта двойственная пара имеет тип II.

Архетипическая неприводимая редуктивная двойственная пара типа I состоит из ортогональная группа и симплектическая группа и строится аналогично. Позволять U - ортогональное векторное пространство и V - симплектическое векторное пространство над F, и W = U ⊗F V - их тензорное произведение. Ключевое наблюдение состоит в том, что W симплектическое векторное пространство, билинейная форма которого получается из произведения форм на тензорные множители. Более того, если грамм = O (U) и грамм′ = Sp (V) являются группы изометрий из U и V, то они действуют на W естественно, эти действия симплектические, и (грамм, грамм′) - неприводимая редуктивная двойственная пара типа I.

Эти две конструкции производят все неприводимые редуктивные двойственные пары над алгебраически замкнутое поле F, например, поле C из сложные числа. В общем, можно заменить векторные пространства на F векторными пространствами над алгебра с делением D над F, и действуем аналогично предыдущему, чтобы построить неприводимую редуктивную дуальную пару типа II. Тип I начинается с алгебры с делением D с инволюцией τ, a эрмитская форма на U, а косоэрмитова форма на V (оба они невырождены) и образует тензорное произведение над D, W = U ⊗D V. потом W естественным образом наделяется структурой симплектического векторного пространства над F, группы изометрий U и V действовать симплектически W и образуют неприводимую редуктивную двойственную пару типа I. Роджер Хоу доказал, что с точностью до изоморфизма любая неприводимая двойственная пара возникает таким образом. Явный список для случая F = р появляется в Хау (1989b).

Смотрите также

Рекомендации

  • Хау, Роджер Э. (1979), «θ-ряды и теория инвариантов» (PDF), в Борель, Арман; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 1, Proc. Симпози. Чистая математика, XXXIII, Providence, R.I .: Американское математическое общество, стр. 275–285, ISBN  978-0-8218-1435-2, МИСТЕР  0546602
  • Хау, Роджер Э. (1989a), "Замечания по классической теории инвариантов", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 313 (2): 539–570, Дои:10.2307/2001418, JSTOR  2001418.
  • Хоу, Роджер Э. (1989b), "Превосходя классическую теорию инвариантов", Журнал Американского математического общества, Американское математическое общество, 2 (3): 535–552, Дои:10.2307/1990942, JSTOR  1990942.
  • Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп., Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-66348-2.