Теорема Риба о сфере - Reeb sphere theorem

В математика, Теорема Риба о сфере, названный в честь Жорж Риб, утверждает, что

Замкнутое ориентированное связное многообразие M ^п который допускает сингулярное слоение наличие только центров - это гомеоморфный к сфера S^п и у слоения ровно две особенности.

Слоение Морса

Особенность слоения F имеет Тип Морзе если в ее малой окрестности все слои слоения наборы уровней из Функция Морса, будучи сингулярностью a критическая точка функции. Особенность - это центр если это локальный экстремум функции; в противном случае особенность седло.

Количество центров c и количество седел ${ displaystyle s}$, конкретно ${ displaystyle c-s}$, тесно связана с топологией многообразия.

Обозначим ${ displaystyle operatorname {ind} p = min (k, n-k)}$, то индекс особенности ${ displaystyle p}$, куда k - индекс соответствующей критической точки функции Морса. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла не менее 1.

А Слоение Морса F на коллекторе M это единственное число трансверсально ориентированное слоение коразмерности один класса ${ displaystyle C ^ {2}}$ с изолированными особенностями такими, что:

• каждая особенность F имеет тип Морса,
• каждый единственный лист L содержит уникальную особенностьп; кроме того, если ${ displaystyle operatorname {ind} p = 1}$ тогда ${ Displaystyle L setminus p}$ не связано.

Теорема Риба о сфере

В этом случае ${ displaystyle c> s = 0}$, футляр без седел.

Теорема:^[1] Позволять ${ displaystyle M ^ {n}}$ замкнутое ориентированное связное многообразие размерности ${ Displaystyle п geq 2}$. Предположить, что ${ displaystyle M ^ {n}}$ признает ${ displaystyle C ^ {1}}$-поперечно ориентированное слоение коразмерности один ${ displaystyle F}$ с непустым набором особенностей все они являются центрами. Тогда особый набор ${ displaystyle F}$ состоит из двух точек и ${ displaystyle M ^ {n}}$ гомеоморфен сфере ${ Displaystyle S ^ {п}}$.

Это следствие Теорема Риба об устойчивости.

Обобщение

Более общий случай ${ displaystyle c> s geq 0.}$

В 1978 году Эдуар Вагнер обобщил теорему Риба о сфере на слоения Морса с седлами. Он показал, что количество центров не может быть слишком много по сравнению с количеством седел, в частности, ${ displaystyle c leq s + 2}$. Итак, есть ровно два случая, когда ${ displaystyle c> s}$:

(1) ${ displaystyle c = s + 2,}$

(2) ${ displaystyle c = s + 1.}$

Он получил описание многообразия, допускающего слоение с особенностями, удовлетворяющими (1).

Теорема:^[2] Позволять ${ displaystyle M ^ {n}}$ - связное компактное многообразие, допускающее слоение Морса ${ displaystyle F}$ с ${ displaystyle c}$ центры и ${ displaystyle s}$ седла. потом ${ displaystyle c leq s + 2}$. В случае ${ displaystyle c = s + 2}$,

• ${ displaystyle M}$ гомеоморфен ${ Displaystyle S ^ {п}}$,
• все седла имеют индекс 1,
• каждый правильный лист диффеоморфен ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$.

Наконец, в 2008 году Сезар Камачо и Бруно Скардуа рассмотрели дело (2), ${ displaystyle c = s + 1}$. Это возможно в небольшом количестве небольших размеров.

Теорема:^[3] Позволять ${ displaystyle M ^ {n}}$ - компактное связное многообразие и ${ displaystyle F}$ слоение Морса на ${ displaystyle M}$. Если ${ displaystyle s = c + 1}$, тогда

• ${ displaystyle n = 2,4,8}$ или же ${ displaystyle 16}$,
• ${ displaystyle M ^ {n}}$ является Многообразие Иллса – Койпера.

Рекомендации