Обычная условная вероятность - Regular conditional probability

Обычная условная вероятность это концепция, которая была разработана для преодоления определенных трудностей при формальном определении условные вероятности за непрерывные распределения вероятностей. Это определяется как альтернатива вероятностная мера обусловлено определенной ценностью случайная переменная.

Мотивация

Обычно мы определяем условная возможность события А учитывая событие B в качестве:

{ Displaystyle P (A | B) = { frac {P (A cap B)} {P (B)}}.}

Сложность с этим возникает, когда событие B слишком мало, чтобы иметь ненулевую вероятность. Например, предположим, что у нас есть случайная переменная Икс с равномерное распределение на ${ displaystyle [0,1],}$ и B это событие, которое ${ displaystyle X = 2/3.}$ Ясно, что вероятность B, в этом случае ${ Displaystyle P (B) = 0,}$ но, тем не менее, мы все равно хотели бы придать значение условной вероятности, такой как ${ Displaystyle P (A | X = 2/3).}$ Чтобы сделать это строго, требуется определение обычной условной вероятности.

Определение

Позволять ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ быть вероятностное пространство, и разреши ${ displaystyle T: Omega rightarrow E}$ быть случайная переменная, определяемый как Борель-измеримая функция из ${ displaystyle Omega}$ к его пространство состояний ${ displaystyle (E, { mathcal {E}})}$ .Надо думать о ${ displaystyle T}$ как способ «дезинтегрировать» пробное пространство ${ displaystyle Omega}$ в ${ displaystyle {T ^ {- 1} (x) } _ {x in E}}$ .С использованием теорема распада согласно теории меры, это позволяет нам «дезинтегрировать» меру ${ displaystyle P}$ в набор мер, по одной для каждого ${ displaystyle x in E}$ . Формально обычная условная вероятность определяется как функция ${ displaystyle nu: E times { mathcal {F}} rightarrow [0,1],}$ называется «вероятностью перехода», где:

Для каждого ${ displaystyle x in E}$ , ${ Displaystyle ню (х, cdot)}$ является вероятностной мерой на ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . Таким образом, мы предоставляем по одному показателю для каждого ${ displaystyle x in E}$ .
Для всех ${ displaystyle A in { mathcal {F}}}$ , ${ Displaystyle ню ( cdot, А)}$ (отображение ${ Displaystyle E mapsto [0,1]}$ ) является ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ -измеримые, и
Для всех ${ displaystyle A in { mathcal {F}}}$ и все ${ displaystyle B in { mathcal {E}}}$ ^[1]

{ Displaystyle P { big (} A cap T ^ {- 1} (B) { big)} = int _ {B} nu (x, A) , P { big (} T ^ {-1} (dx) { big)}.}

куда ${ Displaystyle P circ T ^ {- 1}}$ это предварительная мера ${ displaystyle T _ {*} P}$ распределения случайного элемента ${ displaystyle T}$ , ${ Displaystyle х в mathrm {supp} , T,}$ то есть топологическая поддержка из ${ displaystyle T _ {*} P}$ В частности, если взять ${ displaystyle B = E}$ , тогда ${ Displaystyle A cap T ^ {- 1} (E) = A}$ , и так

{ Displaystyle P (A) = int _ {E} nu (x, A) , P { big (} T ^ {- 1} (dx) { big)}}

,

куда ${ Displaystyle ню (х, А)}$ можно обозначить, используя более знакомые термины ${ Displaystyle Р (А | Т = х)}$ (это «определяется» как условная вероятность ${ displaystyle A}$ данный ${ displaystyle x}$ , которые могут быть не определены в элементарных конструкциях условной вероятности). Как видно из интеграла выше, значение ${ displaystyle nu}$ для очков Икс вне поддержки случайной величины бессмысленно; его значение как условной вероятности строго ограничено поддержкой Т.

В измеримое пространство ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$ говорят, что имеет свойство регулярной условной вероятности если для всех вероятностные меры ${ displaystyle P}$ на ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}),}$ все случайные переменные на ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ допускают регулярную условную вероятность. А Радоновое пространство, в частности, обладает этим свойством.

Альтернативное определение

Рассмотрим радоновое пространство ${ displaystyle Omega}$ (то есть вероятностная мера, определенная на пространстве Радона, снабженном сигма-алгеброй Бореля) и вещественной случайной величиной Т. Как обсуждалось выше, в этом случае существует регулярная условная вероятность относительно Т. Более того, мы можем альтернативно определить обычная условная вероятность для мероприятия А учитывая особую ценность т случайной величины Т следующим образом:

{ Displaystyle P (A | T = T) = lim _ {U supset {T = t }} { frac {P (A cap U)} {P (U)}},}

где предел берется за сеть из открыто окрестности U из т как они становятся меньше по множеству включения. Этот предел определен тогда и только тогда, когда вероятностное пространство Радон, и только при поддержке Т, как описано в статье. Это ограничение вероятности перехода на поддержку Т. Чтобы строго описать этот ограничивающий процесс:

Для каждого ${ displaystyle epsilon> 0,}$ существует открытая окрестность U события {Т = т}, так что для каждого открытого V с ${ Displaystyle {T = T } подмножество V подмножество U,}$

{ displaystyle left | { frac {P (A cap V)} {P (V)}} - L right | < epsilon,}

куда ${ Displaystyle L = P (A | T = t)}$ это предел.

Пример

Чтобы продолжить наш мотивирующий пример выше, мы рассмотрим случайную величину с действительным знаком. Икс и писать

{ Displaystyle P (A | X = x_ {0}) = nu (x_ {0}, A) = lim _ { epsilon rightarrow 0 +} { frac {P (A cap {x_ { 0} - epsilon

(куда ${ displaystyle x_ {0} = 2/3}$ для приведенного примера.) Этот предел, если он существует, является обычной условной вероятностью для Икс, ограниченный ${ displaystyle mathrm {supp} , X.}$

В любом случае легко видеть, что этот предел не существует для ${ displaystyle x_ {0}}$ вне поддержки Икс: поскольку поддержка случайной величины определяется как набор всех точек в ее пространстве состояний, каждая из которых район имеет положительную вероятность для каждой точки ${ displaystyle x_ {0}}$ вне поддержки Икс (по определению) будет ${ displaystyle epsilon> 0}$ такой, что ${ Displaystyle P ( {x_ {0} - epsilon$

Таким образом, если Икс равномерно распределяется по ${ displaystyle [0,1],}$ действительно бессмысленно обусловливать вероятность " ${ Displaystyle X = 3/2}$ ".

Смотрите также

внешняя ссылка

Регулярная условная вероятность на PlanetMath

[1] D. Leao Jr. et al. Регулярная условная вероятность, распад вероятности и радоновые пространства. Proyecciones. Vol. 23, No. 1, pp. 15–29, май 2004 г., Universidad Católica del Norte, Антофагаста, Чили PDF

[1]