Правильный косой апейроэдр - Википедия - Regular skew apeirohedron

В геометрия, а правильный косой апейроэдр бесконечный правильный косой многогранник, либо с перекосом правильных граней, либо с перекосом правильных фигуры вершин.

История

В соответствии с Coxeter, в 1926 г. Джон Флиндерс Петри обобщил понятие правильные косые многоугольники (неплоские многоугольники) до конечных правильные косые многогранники в 4-х измерениях и бесконечные правильные косые апейроэдры в 3-х измерениях (описано здесь).

Коксетер выделил 3 формы с плоскими гранями и перекосом. фигуры вершин, два являются дополнениями друг друга. Все они названы с измененным Символ Шлефли {л,м|п}, где есть л-кональные грани, м грани вокруг каждой вершины, с дыры идентифицирован как п-кональные недостающие лица.

Кокстер предложил модифицированный Символ Шлефли {л,м|п} для этих цифр с {л,м} подразумевая вершина фигуры, м l-угольники вокруг вершины и п-гональные отверстия. Их вершинные фигуры перекос многоугольников, зигзагами между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные {л,м|п}, следуйте этому уравнению:

2 греха ( $π$ /л) · Грех ( $π$ /м) = cos ( $π$ /п)

Правильные косые апейроэдры трехмерного евклидова пространства

Три евклидовых решения в 3-пространстве: {4,6 | 4}, {6,4 | 4} и {6,6 | 3}. Джон Конвей назвали их mucube, muoctahedron и mutetrahedron соответственно для множественного куба, октаэдра и тетраэдра.^[1]

Mucube: {4,6|4}: 6 квадраты на вершине (относящейся к кубические соты, построенный из кубических ячеек, с удалением двух противоположных граней из каждой и соединением наборов из шести вместе вокруг безликого куб.)
Муоктаэдр: {6,4|4}: 4 шестиугольники на вершине (относящейся к усеченные кубические соты, построенный усеченный октаэдр с удаленными квадратными поверхностями и соединением пар отверстий вместе.)
Мутетраэдр: {6,6 | 3}: 6 шестиугольников на вершине (связанных с четверть кубических сот, построенный усеченный тетраэдр ячеек, удалив треугольные грани и связав наборы из четырех вокруг безликого тетраэдр.)

Кокстер дает эти правильные косые апейроэдры {2q, 2r | p} с расширенная киральная симметрия [[(п,q,п,р)]⁺] который, по его словам, изоморфен его абстрактная группа (2q,2р|2,п). Соответствующие соты имеют расширенную симметрию [[(п,q,п,р)]].^[2]

Компактные правильные косые апейроэдры
Группа Коксетера симметрия	Апейроэдр {p, q \| l}	Изображение	Связанный соты
[[4,3,4]] [[4,3,4]⁺]	{4,6\|4} Mucube	анимация	т_0,3{4,3,4}
[[4,3,4]] [[4,3,4]⁺]	{6,4\|4} Муоктаэдр	анимация	2т {4,3,4}
[[3^[4]]] [[3^[4]]⁺]	{6,6\|3} Мутетраэдр	анимация	q {4,3,4}

Правильные косые апейроэдры в трехмерном гиперболическом пространстве

В 1967 г. К. В. Л. Гарнер идентифицировал 31 гиперболический косой апейроэдр с правильный косой многоугольник фигуры вершин, найденный в результате поиска, аналогичного 3 указанным выше, из евклидова пространства.^[3]

Они представляют собой 14 компактных и 17 паракомпактных правильных косых многогранников в гиперболическом пространстве, построенных из симметрии подмножества линейных и циклических Группы Кокстера графики вида [[(п,q,п,р)]], Они определяют правильные косые многогранники {2q,2р|п} и двойное {2р,2q|п}. В частном случае групп линейных графов р = 2, это представляет группу Кокстера [п,q,п]. Он генерирует регулярные перекосы {2q,4|п} и {4,2q|п}. Все они существуют как подмножество граней выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве.

Косой апейроэдр имеет то же самое антипризма фигура вершины с сотами, но реализуются только зигзагообразные грани вершины фигуры, в то время как другие грани образуют «дыры».

14 Компактные правильные косые апейроэдры
Coxeter группа	Апейроэдр {p, q \| l}	Соты	Апейроэдр {p, q \| l}	Соты
[3,5,3]	{10,4\|3}	2т {3,5,3}	{4,10\|3}	т_0,3{3,5,3}
[5,3,5]	{6,4\|5}	2т {5,3,5}	{4,6\|5}	т_0,3{5,3,5}
[(4,3,3,3)]	{8,6\|3}	ct {(4,3,3,3)}	{6,8\|3}	ct {(3,3,4,3)}
[(5,3,3,3)]	{10,6\|3}	ct {(5,3,3,3)}	{6,10\|3}	ct {(3,3,5,3)}
[(4,3,4,3)]	{8,8\|3}	ct {(4,3,4,3)}	{6,6\|4}	ct {(3,4,3,4)}
[(5,3,4,3)]	{8,10\|3}	ct {(4,3,5,3)}	{10,8\|3}	ct {(5,3,4,3)}
[(5,3,5,3)]	{10,10\|3}	ct {(5,3,5,3)}	{6,6\|5}	ct {(3,5,3,5)}

17 Паракомпактные правильные косые апейроэдры
Coxeter группа	Апейроэдр {p, q \| l}	Соты	Апейроэдр {p, q \| l}	Соты
[4,4,4]	{8,4\|4}	2т {4,4,4}	{4,8\|4}	т_0,3{4,4,4}
[3,6,3]	{12,4\|3}	2т {3,6,3}	{4,12\|3}	т_0,3{3,6,3}
[6,3,6]	{6,4\|6}	2т {6,3,6}	{4,6\|6}	т_0,3{6,3,6}
[(4,4,4,3)]	{8,6\|4}	ct {(4,4,3,4)}	{6,8\|4}	ct {(3,4,4,4)}
[(4,4,4,4)]	{8,8\|4}	q {4,4,4}
[(6,3,3,3)]	{12,6\|3}	ct {(6,3,3,3)}	{6,12\|3}	ct {(3,3,6,3)}
[(6,3,4,3)]	{12,8\|3}	ct {(6,3,4,3)}	{8,12\|3}	ct {(4,3,6,3)}
[(6,3,5,3)]	{12,10\|3}	ct {(6,3,5,3)}	{10,12\|3}	ct {(5,3,6,3)}
[(6,3,6,3)]	{12,12\|3}	ct {(6,3,6,3)}	{6,6\|6}	ct {(3,6,3,6)}

Смотрите также

Рекомендации

^ Симметрия вещей, 2008, Глава 23 Объекты с первичной симметрией, Бесконечные Платоновы Многогранники, стр. 333–335
^ Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II 2.34)
^ Гарнер, К. В. Л. Правильные косые многогранники в трехмерном гиперболическом пространстве. Может. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] Примечание: в его статье говорится, что их 32, но один самодуальный, остается 31.

Возвращение к картам Петри – Кокстера PDF, Изабель Хубард, Эгон Шульте, Азия Ивик Вайс, 2005 г.
Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5,
Питер МакМаллен, Четырехмерные правильные многогранники, Дискретная и вычислительная геометрия, сентябрь 2007 г., том 38, выпуск 2, стр. 355–387
Coxeter, Правильные многогранники, Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайса, публикации Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 2) H.S.M. Кокстер, "Правильные губки или косые многогранники", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
- (Документ 22) Х.С.М. Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Документ 23) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
Coxeter, Красота геометрии: двенадцать эссе, Dover Publications, 1999 г., ISBN 0-486-40919-8 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги, Труды Лондонского математического общества, сер. 2, том 43, 1937 г.)
- Кокстер, Х. С. М. Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях. Proc. Лондонская математика. Soc. 43, 33–62, 1937.

[1] Симметрия вещей, 2008, Глава 23 Объекты с первичной симметрией, Бесконечные Платоновы Многогранники, стр. 333–335

[2] Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II 2.34)

[3] Гарнер, К. В. Л. Правильные косые многогранники в трехмерном гиперболическом пространстве. Может. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] Примечание: в его статье говорится, что их 32, но один самодуальный, остается 31.

[1]

[2]

[3]