Перестановка в случайном порядке - Riffle shuffle permutation

В математике перестановки и изучение шаркающий играя в карты, а перестановка перемешивания один из перестановки набора п предметы, которые можно получить одним перемешивание, в котором отсортированная колода п карты разрезаются на два пакета, а затем эти два пакета чередуются (например, перемещая карты по одной из нижней части одного или другого пакета в верхнюю часть отсортированной колоды). Начиная с упорядоченного набора (1 восходящая последовательность), математически перестановка определяется как перестановка в этом наборе, содержащем 1 или 2 восходящие последовательности.[1] Перестановки с 1 восходящей последовательностью являются идентичными перестановками.

Как частный случай этого, a (п,q)-тасовать, для чисел п и q с п + q = п, это рифл, в котором первый пакет имеет п карты и второй пакет q открытки.[2]

Комбинаторное перечисление

Поскольку a (п,q) -shuffle полностью определяется тем, как п отображаются элементы, количество (п,q) -shuffles - это

Однако количество различных перекатов - не совсем сумма этой формулы по всем вариантам выбора п и q добавление к п (что было бы 2п), поскольку перестановка идентичности может быть представлен несколькими способами как (п,q) -перемешать для разных значений п и q. Вместо этого количество различных перестановок тасования колоды в колоде п карты, для п = 1, 2, 3, ..., является

1, 2, 5, 12, 27, 58, 121, 248, 503, 1014, ... (последовательность A000325 в OEIS )

В более общем плане формула для этого числа - 2п − п; например, существует 4503599627370444 перестановок тасования колоды из 52 карт.

Количество перестановок, которые одновременно являются перестановкой случайного воспроизведения и обратной перестановкой случайного перемешивания, равно[3]

За п = 1, 2, 3, ..., это

1, 2, 5, 11, 21, 36, 57, 85, 121, 166, 221, ... (последовательность A050407 в OEIS )

и для п = 52 есть ровно 23427 обратимых тасовок.

Случайное распределение

В Модель Гилберта – Шеннона – Ридса описывает случайный распределение вероятностей при перетасовке тасования, что хорошо подходит для наблюдаемых перетасовок людей.[4] В этой модели перестановка идентичности имеет вероятность (п + 1)/2п быть сгенерированным, и все другие перестановки перестановок имеют равную вероятность 1/2п генерируются. Основываясь на анализе этой модели, математики рекомендовали дать колоде из 52 карт семь риффов, чтобы тщательно ее рандомизировать.[5]

Шаблоны перестановок

А шаблон в перестановке - это меньшая перестановка, образованная из подпоследовательности некоторых k значения в перестановке, уменьшив эти значения до диапазона от 1 до k при сохранении своего порядка. Несколько важных семейств перестановок можно охарактеризовать конечным набором запрещенных паттернов, и это верно также для перестановок случайного тасования: это как раз те перестановки, которые не имеют 321, 2143 и 2413 в качестве паттернов.[3] Так, например, они являются подклассом вексиллярные перестановки, которые имеют 2143 в качестве единственного минимального запрещенного шаблона.[6]

Идеальное перемешивание

Основная статья: Перетасовка фаро

А идеальное перемешивание представляет собой рифл, в котором дека разделена на два пакета одинакового размера, и в котором чередование этих двух пакетов строго чередуется между ними. Есть два типа идеального перемешивания: в случайном порядке и тасовать, и то и другое могут последовательно выполняться некоторыми хорошо обученными людьми. Когда колода многократно перетасовывается с использованием этих перестановок, она остается гораздо менее случайной, чем при обычном перемешивании колоды, и она вернется в исходное состояние только после небольшого количества идеальных перемешиваний. В частности, колода из 52 игральных карт будет возвращена в исходный порядок после перетасовки 52 или 8 исходных. Этот факт лежит в основе нескольких фокусов.[7]

Алгебра

Рифленая тасовка может использоваться для определения тасовать алгебру. Это Алгебра Хопфа где основа - это набор слов, а произведение - это произведение в случайном порядке, обозначенное символом sha ш, суммой всех перемешанных слов двух слов.

В внешняя алгебра, произведение клина п-форма и q-форму можно определить как сумму по (п,q) -тасовки.[2]

Смотрите также

  • Перестановки Gilbreath, перестановки, сформированные путем переворота одного из двух пакетов карт перед их перемешиванием

Рекомендации

  1. ^ Aldous, D .; Диаконис, П. «Перетасовка карт и время остановки» (PDF). Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  2. ^ а б Вейбель, Чарльз (1994). Введение в гомологическую алгебру, п. 181. Cambridge University Press, Кембридж.
  3. ^ а б Аткинсон, М. Д. (1999), "Ограниченные перестановки", Дискретная математика, 195 (1–3): 27–38, Дои:10.1016 / S0012-365X (98) 00162-9, МИСТЕР  1663866.
  4. ^ Диаконис, Перси (1988), Групповые представления в вероятности и статистике, Конспект лекций Института математической статистики - серия монографий, 11, Хейворд, Калифорния: Институт математической статистики, ISBN  0-940600-14-5, МИСТЕР  0964069.
  5. ^ Колата, Джина (9 января 1990 г.), «При перемешивании карт выигрывает 7», Нью-Йорк Таймс.
  6. ^ Клаэссон, Андерс (2004), Шаблоны перестановок, непрерывные дроби и группа, определяемая упорядоченным набором, Кандидат наук. кандидатская диссертация, факультет математики, Технологический университет Чалмерса, CiteSeerX  10.1.1.103.2001.
  7. ^ Диаконис, Перси; Грэм, Р. Л.; Кантор, Уильям М. (1983), "Математика идеального перемешивания", Успехи в прикладной математике, 4 (2): 175–196, CiteSeerX  10.1.1.77.7769, Дои:10.1016 / 0196-8858 (83) 90009-X, МИСТЕР  0700845.