Парадокс Росса – Литтлвуда - Ross–Littlewood paradox
 | Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. (Ноябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В Парадокс Росса – Литтлвуда (также известный как шары и ваза проблема или проблема с мячом для пинг-понга) является гипотетической проблемой в абстрактная математика и логика предназначены для иллюстрации, казалось бы, парадоксальный, или по крайней мере неинтуитивный, природа бесконечность. В частности, например, Лампа Томсона парадокс Росс-Литтлвуд пытается проиллюстрировать концептуальные трудности с понятием сверхзадача, в котором последовательно выполняется бесконечное количество задач.[1] Первоначально проблема была описана математиком Джон Э. Литтлвуд в своей книге 1953 года Сборник Литтлвуда, и позже был расширен Шелдон Росс в его книге 1988 года Первый курс вероятности.
Проблема начинается с пустой вазы и бесконечного запаса шаров. Затем выполняется бесконечное количество шагов, так что на каждом шаге 10 шаров добавляются в вазу и 1 шар удаляется из нее. Тогда возникает вопрос: Сколько шаров будет в вазе, когда задание выполнено?
Чтобы выполнить бесконечное количество шагов, предполагается, что ваза пуста за одну минуту до полудня, и что выполняются следующие шаги:
- Первый шаг выполняется за 30 секунд до полудня.
- Второй этап выполняется за 15 секунд до полудня.
- Каждый последующий шаг выполняется за половину времени предыдущего шага, т.е. п выполняется в 2−п минут до полудня.
Это гарантирует, что счетно бесконечный количество шагов выполняется к полудню. Поскольку каждый последующий шаг занимает вдвое меньше времени, чем предыдущий, за одну минуту выполняется бесконечное количество шагов. Тогда возникает вопрос: Сколько шаров в вазе в полдень?
Решения
Ответы на загадку делятся на несколько категорий.
Ваза содержит бесконечно много шаров
Кажется, наиболее интуитивно понятный ответ состоит в том, что к полудню в вазе содержится бесконечное количество шаров, поскольку на каждом этапе процесса добавляется больше шаров, чем удаляется. По определению, на каждом шаге будет больше шаров, чем на предыдущем шаге. На самом деле нет шага, на котором количество шаров уменьшилось бы по сравнению с предыдущим шагом. Если количество шаров каждый раз увеличивается, то после бесконечных шагов будет бесконечное количество шаров.
Ваза пуста
Предположим, что шары из бесконечного запаса шаров были пронумерованы, и что на шаге 1 шары с 1 по 10 вставляются в вазу, а затем шар номер 1 удаляется. На этапе 2 вставляются шарики с 11 по 20, а затем шарик 2 удаляется. Это означает, что к полудню каждый шар с надписью п который вставлен в вазу, в конечном итоге удаляется на следующем этапе (а именно, на этапе п). Следовательно, в полдень ваза пуста. Это решение предпочитают математики Аллис и Кутсьер. Сопоставление этого аргумента о том, что ваза пуста в полдень, и более интуитивного ответа о том, что в вазе должно быть бесконечно много шаров, дает основание назвать эту проблему парадоксом Росса – Литтлвуда.
Вероятностная версия проблемы Росса распространила метод удаления на случай, когда всякий раз, когда мяч должен быть извлечен, этот шар равномерно случайным образом выбирается из числа тех, кто в это время находился в вазе. В этом случае он показал, что вероятность того, что какой-либо конкретный шар останется в вазе в полдень, равна 0, и поэтому, используя Неравенство Буля и взяв счетную сумму по шарам, вероятность того, что ваза будет пустой в полдень, равна 1.[2]
Зависит от условий
Действительно, количество получаемых шаров зависит от порядка, в котором шары вынимаются из вазы. Как было сказано ранее, шары можно добавлять и удалять таким образом, чтобы в полдень в вазе не осталось ни одного шара. Однако, если шар номер 10 был удален из вазы на шаге 1, шар номер 20 - на шаге 2 и так далее, то ясно, что в полдень в вазе останется бесконечное количество шаров. Фактически, в зависимости от того, какой шар удаляется на различных этапах, любое выбранное количество шаров может быть помещено в вазу к полудню, как демонстрирует процедура ниже. Это решение, предпочитаемое философом-логиком. Том Тимочко и математик-логик Джим Хенле. Это решение математически соответствует взятию ограничить нижнюю последовательность наборов.
Следующая процедура описывает, как именно получить выбранный п количество шаров, оставшихся в вазе.
Позволять п обозначим желаемое конечное количество шаров в вазе (п ≥ 0).
Позволять я обозначают номер выполняемой в данный момент операции (я ≥ 1).
Процедура:
- за я = 1 к бесконечность:
- положите в вазу шары с номерами от (10 * i - 9) до (10 * i)
- если я ≤ п тогда удалить шар номер 2 * i
- если я> п тогда удалить шар номер n + i
Ясно, что первый п нечетные шары не удаляются, а все шары больше или равные 2п находятся. Следовательно, именно п шары остаются в вазе.
Проблема не указана
Хотя состояние шаров и вазы четко определяется в каждый момент времени. прежний к полудню нельзя сделать вывод ни о каком моменте времени в или после полдень. Таким образом, насколько мы знаем, в полдень ваза просто волшебным образом исчезает или с ней происходит что-то еще. Но мы не знаем, так как в постановке задачи об этом ничего не говорится. Следовательно, как и в предыдущем решении, в этом решении указано, что проблема не указана, но иначе, чем в предыдущем решении. Это решение поддерживает философ математики. Поль Бенасерраф.
Проблема плохо сформирована
Проблема некорректно поставлена. Если быть точным, то согласно постановке задачи до полудня будет выполнено бесконечное количество операций, а потом в полдень спросит о состоянии дел. Но, как в Парадоксы Зенона, если до полудня должно быть выполнено (последовательно) бесконечно много операций, то полдень - это момент времени, который никогда не может быть достигнут. С другой стороны, спросить, сколько шаров останется в полдень, значит предположить, что полдень наступит. Следовательно, есть противоречие, неявное в самой постановке проблемы, и это противоречие является предположением, что можно каким-то образом «выполнить» бесконечное количество шагов. Это решение, которое предпочитают математики и философы. Жан Поль Ван Бендегем.
Смотрите также
Рекомендации
дальнейшее чтение
- "Сборник Литтлвуда" (изд. Béla Bollobás ), Cambridge University Press, Кембридж, 1986. стр. 26. (Впервые опубликовано как «Сборник математиков» (изд. Béla Bollobás, Methuen & Co., 1953).
- «Задачи, сверхзадачи и современные элеаты», Пол Бенасерраф, «Журнал философии», LIX, 1962, стр. 765–784.
- "Первый курс вероятностей", Шелдон Росс, Нью-Йорк: Macmillan, 1976
- «О некоторых парадоксах бесконечного», Виктор Аллис и Теунис Кутсьер, Британский журнал философии науки, v.42, номер 2, июнь 1991 г., стр. 187–194
- "Парадокс Росса - невыполнимая сверхзадача", Жан Поль Ван Бендегем, Британский журнал философии науки, v.45, номер 2, июнь 1994, стр. 743–748
- «Бесконечные боли: проблема со сверхзадачами», Эрман, Дж. И Нортон, Дж. Д., в С. Стиче (ред.) Пол Бенасерраф: Философ и его критики (Нью-Йорк: Блэквелл), 1994
- "Sweet Reason: Практическое руководство по современной логике", Том Тимочко и Джим Хенле, Freeman Press, 1995