Сасакиево многообразие - Sasakian manifold
В дифференциальная геометрия, а Сасакиево многообразие (названный в честь Шигео Сасаки ) это контактный коллектор оснащены специальным Риманова метрика , называется Сасакян метрика.
Определение
Сасакиева метрика определяется с помощью конструкции Риманов конус. Учитывая Риманово многообразие , его риманов конус есть произведение
из с полулинией , оснащенный коническая метрика
куда параметр в .
Многообразие оборудован 1-образной является контактным тогда и только тогда, когда 2-форма
на его конусе симплектический (это одно из возможных определений контактной структуры). Контактное риманово многообразие называется сасакиевым, если его риманов конус с метрикой конуса является Кэлерово многообразие с формой Келера
Примеры
В качестве примера рассмотрим
где правая часть представляет собой естественное кэлерово многообразие и читается как конус над сферой (наделенный вложенной метрикой). Контактная 1-форма на форма, связанная с касательным вектором , построенный из вектора единичной нормали в сферу ( являясь сложной структурой на ).
Другой некомпактный пример: с координатами наделен контактной формой
и риманова метрика
В качестве третьего примера рассмотрим:
где правая часть имеет естественную кэлерову структуру, а группа действует путем отражения в начале координат.
История
Сасакиевы многообразия были введены в 1960 г. японским геометром Шигео Сасаки.[1] После середины 1970-х годов, до появления Теория струн. С тех пор сасакиевы многообразия приобрели известность в физике и алгебраической геометрии, в основном благодаря серии работ автора Чарльз П. Бойер и Кшиштоф Галицкий и их соавторы.
Векторное поле Риба
В гомотетическое векторное поле на конусе над сасакиевым многообразием определяется как
Поскольку конус по определению является кэлеровым, существует сложная структура J. В Векторное поле Риба на сасасском многообразии определяется как
Это никуда не денется. Он коммутирует со всеми голоморфными Векторы убийства на конусе и особенно со всеми изометрии сасакиева многообразия. Если орбиты векторного поля близки, то пространство орбит является кэлеровым орбифолдом. Векторное поле Риба на сасакиевом многообразии единичного радиуса является единичным векторным полем, касательным к вложению.
Многообразия Сасаки – Эйнштейна.
Сасакиево многообразие - многообразие, риманов конус которого кэлеров. Если, кроме того, этот конус Риччи-квартира, называется Сасаки – Эйнштейн; если это Hyperkähler, называется 3-Сасакян. Любое 3-сасакиево многообразие одновременно является многообразием Эйнштейна и спиновым многообразием.
Если M является многообразием Калера – Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то по наблюдению Шошичи Кобаяси, расслоение кругов S в своем каноническом линейном расслоении допускает метрику Сасаки – Эйнштейна таким образом, что проекция из S к M в риманову погружение. (Например, отсюда следует существование метрики Сасаки – Эйнштейна на подходящих связки кругов с 3-го по 8-е поверхности дель Пеццо.) Хотя эта риманова субмерсионная конструкция обеспечивает правильную локальную картину любого многообразия Сасаки – Эйнштейна, глобальная структура таких многообразий может быть более сложной. Например, можно в более общем смысле построить многообразия Сасаки – Эйнштейна, исходя из теории Калера – Эйнштейна. орбифолд М. Используя это наблюдение, Бойер, Галицкий и Янош Коллар построил бесконечно много гомеотипов 5-многообразий Сасаки-Эйнштейна. Та же конструкция показывает, что пространство модулей метрик Эйнштейна на 5-сфере имеет не менее нескольких сотен компонент связности.
Примечания
Рекомендации
- Шигео Сасаки, «О дифференцируемых многообразиях с некоторыми структурами, тесно связанными с почти контактной структурой», Tohoku Math. Дж. 2 (1960), 459-476.
- Чарльз П. Бойер, Кшиштоф Галицкий, Сасакиева геометрия
- Чарльз П. Бойер, Кшиштоф Галицкий "3-сасакиевы многообразия ", Опросы Diff. Геом. 7 (1999) 123-184
- Дарио Мартелли, Джеймс Спаркс и Шинг-Тунг Яу, "Многообразия Сасаки-Эйнштейна и минимизация объема ", ArXiv hep-th / 0603021