Сасакиево многообразие - Sasakian manifold

В дифференциальная геометрия, а Сасакиево многообразие (названный в честь Шигео Сасаки ) это контактный коллектор оснащены специальным Риманова метрика , называется Сасакян метрика.

Определение

Сасакиева метрика определяется с помощью конструкции Риманов конус. Учитывая Риманово многообразие , его риманов конус есть произведение

из с полулинией , оснащенный коническая метрика

куда параметр в .

Многообразие оборудован 1-образной является контактным тогда и только тогда, когда 2-форма

на его конусе симплектический (это одно из возможных определений контактной структуры). Контактное риманово многообразие называется сасакиевым, если его риманов конус с метрикой конуса является Кэлерово многообразие с формой Келера

Примеры

В качестве примера рассмотрим

где правая часть представляет собой естественное кэлерово многообразие и читается как конус над сферой (наделенный вложенной метрикой). Контактная 1-форма на форма, связанная с касательным вектором , построенный из вектора единичной нормали в сферу ( являясь сложной структурой на ).

Другой некомпактный пример: с координатами наделен контактной формой

и риманова метрика

В качестве третьего примера рассмотрим:

где правая часть имеет естественную кэлерову структуру, а группа действует путем отражения в начале координат.

История

Сасакиевы многообразия были введены в 1960 г. японским геометром Шигео Сасаки.[1] После середины 1970-х годов, до появления Теория струн. С тех пор сасакиевы многообразия приобрели известность в физике и алгебраической геометрии, в основном благодаря серии работ автора Чарльз П. Бойер и Кшиштоф Галицкий и их соавторы.

Векторное поле Риба

В гомотетическое векторное поле на конусе над сасакиевым многообразием определяется как

Поскольку конус по определению является кэлеровым, существует сложная структура J. В Векторное поле Риба на сасасском многообразии определяется как

Это никуда не денется. Он коммутирует со всеми голоморфными Векторы убийства на конусе и особенно со всеми изометрии сасакиева многообразия. Если орбиты векторного поля близки, то пространство орбит является кэлеровым орбифолдом. Векторное поле Риба на сасакиевом многообразии единичного радиуса является единичным векторным полем, касательным к вложению.

Многообразия Сасаки – Эйнштейна.

Сасакиево многообразие - многообразие, риманов конус которого кэлеров. Если, кроме того, этот конус Риччи-квартира, называется Сасаки – Эйнштейн; если это Hyperkähler, называется 3-Сасакян. Любое 3-сасакиево многообразие одновременно является многообразием Эйнштейна и спиновым многообразием.

Если M является многообразием Калера – Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то по наблюдению Шошичи Кобаяси, расслоение кругов S в своем каноническом линейном расслоении допускает метрику Сасаки – Эйнштейна таким образом, что проекция из S к M в риманову погружение. (Например, отсюда следует существование метрики Сасаки – Эйнштейна на подходящих связки кругов с 3-го по 8-е поверхности дель Пеццо.) Хотя эта риманова субмерсионная конструкция обеспечивает правильную локальную картину любого многообразия Сасаки – Эйнштейна, глобальная структура таких многообразий может быть более сложной. Например, можно в более общем смысле построить многообразия Сасаки – Эйнштейна, исходя из теории Калера – Эйнштейна. орбифолд М. Используя это наблюдение, Бойер, Галицкий и Янош Коллар построил бесконечно много гомеотипов 5-многообразий Сасаки-Эйнштейна. Та же конструкция показывает, что пространство модулей метрик Эйнштейна на 5-сфере имеет не менее нескольких сотен компонент связности.

Примечания

  1. ^ "Биография Сасаки".

Рекомендации

внешняя ссылка