Теорема Сиаччи - Википедия - Siaccis theorem

В кинематика, то ускорение частицы, движущейся по кривой в пространстве, является производной по времени от ее скорости. В большинстве приложений вектор ускорения выражается как сумма его нормальные и тангенциальные компоненты, которые ортогональный друг другу. Теорема Шаччи, сформулированная итальянским математиком Франческо Сиаччи (1839–1907), представляет собой кинематическое разложение вектора ускорения на его радиальную и тангенциальную составляющие. Как правило, радиальная и тангенциальная составляющие не ортогональны друг другу. Теорема Шаччи особенно полезна в движениях, где угловой момент постоянно.

Теорема Шаччи на плоскости

Движение частицы P в плоскости.

Пусть частица п массы м двигаться в двухмерном Евклидово пространство (плоское движение). Предположим, что C кривая, начерченная п и s длина дуги C соответствует времени т. Позволять О - произвольное начало на плоскости и {я,j} быть фиксированным ортонормированный базис. Вектор положения частицы равен

{ displaystyle mathbf {r} = r mathbf {e} _ {r}.}

В единичный вектор е_р - радиальный базисный вектор полярная система координат в плоскости. В скорость вектор частицы

{ displaystyle mathbf {v} = { frac {d mathbf {r}} {dt}} = { dot {s}} mathbf {e} _ {t} = v mathbf {e} _ { t},}

куда е_т - единичный касательный вектор к C. Определите угловой момент п в качестве

{ displaystyle mathbf {h} = mathbf {r} times m mathbf {v} = h mathbf {k},}

куда k = я Икс j. Предположить, что ч ≠ 0. Вектор положения р тогда может быть выражено как

{ displaystyle mathbf {r} = q mathbf {e} _ {t} -p mathbf {e} _ {n}}

в Базис Серре-Френе {е_т, е_п, е_б}. Величина углового момента равна час = MPV, куда п перпендикуляр от начала координат к касательной ZP. Согласно теореме Сиаччи, ускорение а из п можно выразить как

{ displaystyle mathbf {a} = - { frac { kappa v ^ {2} r} {p}} mathbf {e} _ {r} + { frac {(h ^ {2}) '} {2p ^ {2}}} mathbf {e} _ {t} = S_ {r} mathbf {e} _ {r} + S_ {t} mathbf {e} _ {t}.}

где штрих означает дифференцирование по длине дуги s, и κ это кривизна функция кривой C. В целом, S_р и S_т не равны ортогональным проекциям а на е_р и е_т.

Пример: центральные силы

Предположим, что угловой момент частицы п ненулевая константа и что S_р является функцией р. потом

{ displaystyle S_ {r} = - f (r) = - { frac { kappa rh ^ {2}} {p ^ {3}}}, qquad S_ {t} = 0.}

Поскольку кривизна в точке на орбите определяется выражением

{ displaystyle kappa = { frac {1} {r}} { frac {dp} {dr}},}

функция ж может быть удобно записано как ОДУ первого порядка

{ displaystyle f (r) = { frac {h ^ {2}} {p ^ {3}}} { frac {dp} {dr}}.}

Тогда уравнение сохранения энергии частицы получается, если f (r) интегрируемо.

{ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {h ^ {2}} {p ^ {2}}} + int f (r) = константа}

.

Теорема Шаччи в космосе

Теорема Шаччи может быть распространена на трехмерные движения. Итак, пусть C быть пространственной кривой, начерченной п и s длина дуги C соответствует времени т. Также предположим, что бинормальный составляющая углового момента не обращается в нуль. Тогда вектор ускорения п можно выразить как

{ displaystyle mathbf {a} = - { frac { kappa v ^ {2} r} {p}} mathbf {e} _ {r} + left (v { frac {dv} {ds}) } + { frac { kappa v ^ {2} q} {p}} right) mathbf {e} _ {t}.}

Тангенциальная составляющая касается кривой C. Радиальная составляющая направлена от точки п до точки, где перпендикуляр из произвольного фиксированного начала пересекает соприкасающаяся плоскость. Другие выражения для а можно найти в^[1], где дано новое доказательство теоремы Сиаччи.

Теорема Сиаччи - Википедия - Siaccis theorem

Содержание

Теорема Шаччи на плоскости

Пример: центральные силы

Теорема Шаччи в космосе

Смотрите также

Рекомендации