Пространственная дисперсия - Spatial dispersion

в физика из непрерывные СМИ, пространственная дисперсия это явление, при котором параметры материала, такие как диэлектрическая проницаемость или же проводимость иметь зависимость от волновой вектор. Обычно предполагается, что такая зависимость отсутствует для простоты, однако пространственная дисперсия существует в разной степени во всех материалах.

Пространственную дисперсию можно сравнить с временной дисперсией, которую часто просто называют разброс. Временная дисперсия представляет собой эффекты памяти в системах, обычно наблюдаемые в оптике и электронике. С другой стороны, пространственная дисперсия представляет собой эффекты распространения и обычно значима только на микроскопических масштабах длины. Пространственная дисперсия вносит относительно небольшие возмущения в оптику, давая слабые эффекты, такие как оптическая активность. Пространственная дисперсия и временная дисперсия могут иметь место в одной и той же системе.

Происхождение: нелокальный ответ

Происхождение пространственной дисперсии - нелокальный отклик, когда реакция на силовое поле появляется во многих местах и может появляться даже там, где сила равна нулю. Обычно это возникает из-за распространения эффектов за счет скрытых микроскопических степеней свободы.^[1]

В качестве примера рассмотрим текущий ${ Displaystyle J (х, т)}$ который приводится в действие в ответ на электрическое поле ${ Displaystyle Е (х, т)}$ , который меняется в пространстве (x) и времени (t). Упрощенные законы, такие как Закон Ома сказал бы, что они прямо пропорциональны друг другу, ${ Displaystyle J = sigma E}$ , но это не работает, если в системе есть память (временная дисперсия) или распространение (пространственная дисперсия). Самый общий линейный отклик дан кем-то:

{ displaystyle J (x, t) = int _ {- infty} ^ {- infty} dx ' int _ {- infty} ^ {- infty} dt' , sigma (x, x ', t, t') E (x ', t'),}

куда ${ Displaystyle sigma (х, х ', т, т') dx ', dt'}$ это нелокальный функция проводимости.

Если система инвариантна во времени (симметрия перевода времени ) и инвариантным в пространстве (симметрия сдвига пространства), то мы можем упростить, потому что ${ displaystyle sigma (x, x ', t, t') = sigma _ { rm {sym}} (x-x ', t-t')}$ для некоторого ядра свертки ${ displaystyle sigma _ { rm {sym}}}$ . Мы также можем рассмотреть плоская волна решения для ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle J}$ вот так:

{ displaystyle J (x, t) = operatorname {Re} (J_ {0} e ^ {ikx-i omega t})}

{ displaystyle E (x, t) = operatorname {Re} (E_ {0} e ^ {ikx-i omega t})}

что дает удивительно простую связь между комплексными амплитудами двух плоских волн:

{ displaystyle J_ {0} = { tilde { sigma}} (k, omega) E_ {0}.}

где функция ${ Displaystyle { тильда { sigma}} (к, omega)}$ дается преобразование Фурье функции пространственно-временного отклика:

{ Displaystyle { тильда { sigma}} (к, omega) = int _ {- infty} ^ {- infty} dx '' int _ {- infty} ^ {- infty} dt '' , e ^ {- ikx '' + i omega t ''} sigma _ { rm {sym}} (x '', t '').}

Функция проводимости ${ Displaystyle { тильда { sigma}} (к, omega)}$ имеет пространственную дисперсию, если она зависит от волнового вектора k. Это происходит, если пространственная функция ${ displaystyle sigma _ { rm {sym}} (х-х ', т-т')}$ не точечный (дельта-функция ) ответ в х-х ' .

Пространственная дисперсия в электромагнетизме

В электромагнетизм, пространственная дисперсия играет роль в некоторых материальных эффектах, таких как оптическая активность и доплеровское уширение. Пространственная дисперсия также играет важную роль в понимании электромагнитного поля. метаматериалы. Чаще всего пространственная дисперсия в диэлектрическая проницаемость ε представляет интерес.

Кристальная оптика

Внутри кристаллов может быть сочетание пространственной дисперсии, временной дисперсии и анизотропии.^[2] В учредительное отношение для поляризация вектор можно записать как:

{ displaystyle P_ {i} ({ vec {k}}, omega) = sum _ {j} ( epsilon _ {ij} ({ vec {k}}, omega) - epsilon _ { 0} delta _ {ij}) E_ {j} ({ vec {k}}, omega),}

т.е. диэлектрическая проницаемость зависит от волнового вектора и частоты. тензор.

Учитывая Уравнения Максвелла, можно найти плоскую волну нормальные режимы внутри таких кристаллов. Это происходит, когда выполняется следующее соотношение для ненулевого вектора электрического поля ${ displaystyle { vec {E}}}$ :^[2]

{ displaystyle omega ^ {2} mu _ {0} epsilon ({ vec {k}}, omega) { vec {E}} - ({ vec {k}} cdot { vec {k}}) { vec {E}} + ({ vec {k}} cdot { vec {E}}) { vec {k}} = 0.}

Пространственная дисперсия в ${ displaystyle epsilon ({ vec {k}}, omega)}$ может привести к странным явлениям, таким как существование нескольких мод с одинаковой частотой и направлением волнового вектора, но с разными величинами волнового вектора.

Близлежащие поверхности и границы кристаллов больше не позволяют описывать реакцию системы в терминах волновых векторов. Для полного описания необходимо вернуться к полной нелокальной функции отклика (без трансляционной симметрии), однако конечный эффект иногда может быть описан «дополнительными граничными условиями» (ABC).

В изотропных средах

В материалах, не имеющих соответствующей кристаллической структуры, важна пространственная дисперсия.

Хотя симметрия требует, чтобы диэлектрическая проницаемость была изотропной для нулевого волнового вектора, это ограничение не применяется для ненулевого волнового вектора. Неизотропная диэлектрическая проницаемость для ненулевого волнового вектора приводит к таким эффектам, как оптическая активность в растворах хиральных молекул. В изотропных материалах без оптической активности тензор диэлектрической проницаемости может быть разбит на поперечные и продольные компоненты, относящиеся к реакции на электрические поля, перпендикулярные или параллельные волновому вектору.^[1]

Для частот вблизи линии поглощения (например, экситон ), пространственная дисперсия может играть важную роль.^[1]

Демпфирование Ландау

В физике плазмы волна может бесстолкновительно затухать частицами в плазме, скорость которых совпадает с фазовой скоростью волны. Обычно это представлено как пространственно-дисперсионные потери диэлектрической проницаемости плазмы.

Неопределенность диэлектрической проницаемости на ненулевой частоте

На ненулевых частотах можно представить все намагничивания как изменяющийся во времени поляризации. Более того, поскольку электрическое и магнитное поля напрямую связаны соотношением ${ displaystyle nabla times E = - partial B / partial t}$ , то намагничивание индуцированное магнитным полем, вместо этого можно представить как поляризация индуцируется электрическим полем, хотя и имеет сильно дисперсионную зависимость.

Это означает, что при ненулевой частоте любой вклад в проницаемость μ вместо этого может быть альтернативно представлен пространственно-дисперсионным вкладом в диэлектрическую проницаемость ε. Значения проницаемости и диэлектрической проницаемости отличаются в этом альтернативном представлении, однако это не приводит к наблюдаемым различиям в реальных величинах, таких как электрическое поле, плотность магнитного потока, магнитные моменты и ток.

В результате на оптических частотах чаще всего устанавливается μ к вакуумная проницаемость μ₀ и учитывать только дисперсионную диэлектрическую проницаемость ε.^[1] Существует некоторая дискуссия о том, уместно ли это в метаматериалы куда приближения эффективной среды за μ используются, и дебаты о реальности "отрицательной проницаемости", наблюдаемой в метаматериалы с отрицательным индексом.^[3]

Пространственная дисперсия в акустике

В акустика, особенно в твердых телах, пространственная дисперсия может быть значительной для длин волн, сравнимых с шагом решетки, что обычно происходит на очень высоких частотах (гигагерц и выше).

В твердых телах разница в распространении поперечные акустические моды и продольные акустические моды звука происходит из-за пространственной дисперсии в тензор упругости который связывает напряжение и деформацию. Для полярных колебаний (оптические фононы ), различие между продольными и поперечными модами можно рассматривать как пространственную дисперсию восстанавливающих сил из «скрытой» немеханической степени свободы, которой является электромагнитное поле.

Многие эффекты электромагнитных волн из-за пространственной дисперсии находят аналог в акустических волнах. Например, существует акустическая активность - вращение плоскости поляризации поперечных звуковых волн - в хиральных материалах,^[4] аналог оптической активности.