Модель Стоунера – Вольфарта - Stoner–Wohlfarth model

В Модель Стоунера – Вольфарта широко используемая модель для намагничивание из однодоменный ферромагнетики.^[1] Это простой пример магнитный гистерезис и полезен для моделирования малых магнитных частиц в магнитное хранилище, биомагнетизм, рок магнетизм и палеомагнетизм.

История

Модель Стонера – Вольфарта была разработана Эдмунд Клифтон Стоунер и Эрих Питер Вольфарт и опубликовано в 1948 году.^[1] Он включал численный расчет интегрального отклика случайно ориентированных магнитов. Поскольку это было сделано до того, как компьютеры стали широко доступны, они прибегали к тригонометрическим таблицам и ручным вычислениям.

Описание

Рисунок 1. Иллюстрация переменных, используемых в модели Стоунера – Вольфарта. Пунктирная линия - это легкая ось частицы.

В модели Стонера – Вольфарта намагниченность внутри ферромагнетика не меняется и представлена ​​вектором M. Этот вектор вращается, как магнитное поле ЧАС изменения. Магнитное поле изменяется только вдоль одной оси; его скалярное значение час положительный в одном направлении и отрицательный в противоположном. Предполагается, что ферромагнетик имеет одноосное магнитная анизотропия с параметром анизотропии K_ты. При изменении магнитного поля намагниченность ограничивается плоскостью, содержащей направление магнитного поля и легкая ось. Следовательно, его можно представить одним углом φ, угол между намагниченностью и полем (рис. 1). Также указан угол θ между полем и легкой осью.

Уравнения

Энергия системы равна

${ displaystyle E = K_ {u} V sin ^ {2} left ( varphi - theta right) - mu _ {0} M_ {s} VH cos varphi, ,}$

(1)

куда V объем магнита, M_s это намагниченность насыщения, и μ₀ это вакуумная проницаемость. Первый член - это магнитная анизотропия а второй - энергия связи с приложенным полем (часто называемая зеемановской энергией).

Стоунер и Вольфарт нормализовали это уравнение:

${ displaystyle eta = { frac {E} {2K_ {u} V}} = { frac {1} {4}} - { frac {1} {4}} cos left (2 left ( varphi - theta right) right) -h cos varphi, ,}$

(2)

куда час = μ₀M_sЧАС/2K_ты.Данное направление намагничивания находится в механическое равновесие если силы на нем равны нулю. Это происходит, когда первая производная энергии по направлению намагничивания равна нулю:

${ displaystyle { frac { partial eta} { partial varphi}} = { frac {1} {2}} sin left (2 left ( varphi - theta right) right) + h sin varphi = 0. ,}$

(3)

Это направление устойчиво к возмущениям, когда оно находится на минимуме энергии, имея положительную вторую производную:

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} eta} { partial varphi ^ {2}}} = соз влево (2 влево ( varphi - theta right) right) + ч cos varphi> 0. ,}$

(4)

В нулевом поле член магнитной анизотропии сводится к минимуму, когда намагниченность совмещена с легкой осью. В большом поле намагниченность направлена ​​в сторону поля.^[1]

Петли гистерезиса

Рис. 2. Пример решения модели Стоунера – Вольфарта. Обе час и м_час находятся между −1 и +1. Сплошные красная и синяя кривые - это минимумы энергии, пунктирные красные и синие линии - максимумы энергии. Энергетические профили включены для трех вертикальных профилей (вставок).

Для каждого угла θ между легкой осью и полем уравнение (3) имеет решение, состоящее из двух кривых решений. Для этих кривых нетрудно решить, варьируя φ и решение для час. Есть одна кривая для φ между 0 и π и еще один для φ между π и 2π; решения на φ = 0 и π соответствуют час = ±∞.^[1]

Поскольку намагниченность в направлении поля равна M_s потому что φ, эти кривые обычно строят в нормированном виде м_час против. час, куда м_час = cos φ - составляющая намагниченности в направлении поля. Пример показан на рисунке 2. Сплошные красные и синие кривые соединяют стабильные направления намагничивания. Для полей -1/2 ≤ ч ≤ 1/2, две кривые перекрываются и есть два устойчивых направления. Это регион, где гистерезис происходит. Включены три энергетических профиля (вставки). Красные и синие звезды - стабильные направления намагниченности, соответствующие минимумам энергии. Там, где вертикальные пунктирные линии пересекают красные и синие пунктирные линии, направления намагниченности являются максимумами энергии и определяют энергетические барьеры между штатами.^[1]

При обычном измерении магнитного гистерезиса час начинается с большого положительного значения и уменьшается до большого отрицательного значения. Направление намагничивания начинается с синей кривой. В час = 0.5 появляется красная кривая, но для час > 0 синее состояние имеет более низкую энергию, потому что оно ближе к направлению магнитного поля. Когда поле становится отрицательным, красное состояние имеет более низкую энергию, но намагниченность не может сразу перейти в это новое направление, потому что между ними есть энергетический барьер (см. Вставки). В час = −0.5однако энергетический барьер исчезает, и в более отрицательных полях синее состояние больше не существует. Следовательно, он должен перейти в красное состояние. После этого скачка намагниченность остается на красной кривой до тех пор, пока поле не станет больше час = 0.5, где он переходит к синей кривой. Обычно строится только петля гистерезиса; максимумы энергии представляют интерес только в том случае, если влияние тепловые колебания рассчитывается.^[1]

Модель Стонера – Вольфарта - классический пример магнитного гистерезиса. Петля симметричная (по 180^° вращения) вокруг начала координат и скачки происходят при час = ± час_s, куда час_s известен как поле переключения. Весь гистерезис возникает при ± час_s.

Зависимость от направления поля

Рис. 3. Некоторые петли гистерезиса, предсказанные моделью Стонера – Вольфарта для разных углов между полем и легкой осью.

Форма петли гистерезиса сильно зависит от угла между магнитным полем и легкой осью (рис. 3). Если два параллельны (θ = 0) петля гистерезиса максимальна (с м_час = час_s = 1 в нормированных единицах). Намагничивание начинается параллельно полю и не вращается, пока не станет нестабильным и не перескочит в противоположном направлении. Как правило, чем больше угол, тем более обратимое вращение. На другом полюсе θ = 90^°, при поле, перпендикулярном легкой оси, скачка не происходит. Намагничивание непрерывно вращается из одного направления в другое (хотя есть два варианта направления вращения).

Для заданного угла θ, поле переключения - это точка, в которой решение переключается с минимума энергии (∂²η/∂ φ² > 0) к максимуму энергии (∂²η/∂ φ² < 0). Таким образом, его можно рассчитать напрямую, решив уравнение (3) вместе с ∂²η/∂ φ² = 0. Решение

${ displaystyle h_ {s} = { frac { left (1-t ^ {2} + t ^ {4} right) ^ {1/2}} {1 + t ^ {2}}}, ,}$

(5)

куда

${ Displaystyle т = загар ^ {1/3} тета. ,}$

(6)

В нормализованных единицах 0.5 ≤ час_s ≤ 1.^[1]

Альтернативный способ представления решения поля переключения - разделить векторное поле час в компонент час_|| = час потому что θ которая параллельна легкой оси, и компонент час_⊥ = ч грех θ то есть перпендикулярно. потом

${ displaystyle h _ { parallel} ^ {2/3} + h _ { perp} ^ {2/3} = 1. ,}$

(7)

Если компоненты сопоставлены друг с другом, результатом будет Астроид Стоунера – Вольфарта. Петлю магнитного гистерезиса можно рассчитать, применив геометрическую конструкцию к этой астроиде.^[2]

Прогнозы для однородных изотропных систем

Гистерезис

Рис. 4. Основная петля гистерезиса для изотропного образца с идентичными частицами. Намагниченность и поле нормированы (м_час = M_ЧАС/M_s, час = ЧАС/2K_ты). Кривая, начинающаяся в начале координат, является начальной кривой намагничивания. Двойные стрелки обозначают обратимое изменение, а одна стрелка - необратимое изменение.

Стоунер и Вольфарт рассчитали основную петлю гистерезиса для изотропный система случайно ориентированных одинаковых частиц. Результат расчета воспроизведен на рисунке 4. Необратимое изменение (одна стрелка) происходит для 0.5 < |час| < 1, обратимое изменение (двойные стрелки) в другом месте. Нормализованный намагниченность насыщения м_RS и принуждение час_c указаны на рисунке. Кривая в центре - это кривая начального намагничивания. Это моделирует поведение образца, если он размагничивается перед приложением поля. Предполагается, что размагничивание оставляет каждую частицу с равной вероятностью намагничивания в любом из двух направлений, параллельных легкой оси. Таким образом, это среднее значение верхней и нижней ветвей основной петли.^[1]

Изотермическая намагниченность

Рис. 5. Три вида изотермической намагниченности для изотропный система случайно ориентированных одинаковых частиц. Остатки м_ir, изотермическая остаточная намагниченность; м_аф, переменное поле размагничивающей остаточной способности; и м_df, остаточная размагничиваемость постоянного тока.

Некоторые расчеты остаточной намагниченности для случайно ориентированных идентичных частиц показаны на рисунке 5. Изотермическая остаточная намагниченность (IRM) получают после размагничивания образца и последующего приложения поля. Кривая м_ir(час) показывает нормированную остаточную намагниченность как функцию поля. Никаких изменений не произойдет, пока час = 0.5 потому что все поля переключения больше, чем 0.5. До этого поля изменения намагниченности обратимы. Намагниченность достигает насыщения при час = 1, самое большое поле переключения.

Два других типа остаточной намагниченности включают размагничивание изотермическая намагниченность насыщения (SIRM), поэтому в нормализованных единицах они начинаются с 1. Опять же, с остаточной намагниченностью ничего не происходит, пока поле не достигнет 0.5. Поле, на котором м_{Округ Колумбия} достигает нуля, называется принуждение к остаточной силе.

Параметры гистерезиса, предсказанные для идентичных, случайно ориентированных частиц

Параметр	Прогноз
${ displaystyle M_ {rs} / M_ {s}}$	${ displaystyle 0.5}$
${ displaystyle H_ {c} / 2K_ {u}}$	${ displaystyle 0.479}$
${ displaystyle H_ {cr} / 2K_ {u}}$	${ displaystyle 0.524}$
${ displaystyle chi _ {0} / 2K_ {u}}$	${ displaystyle 2/3}$
${ displaystyle H_ {cr} / H_ {c}}$	${ displaystyle 1.09}$

Некоторые параметры магнитного гистерезиса, предсказанные этим расчетом, показаны в соседней таблице. Нормализованные величины, используемые в приведенных выше уравнениях, были выражены в терминах нормальных измеренных величин. Параметр ЧАС_cr это коэрцитивность остаточной и χ₀ - начальная восприимчивость ( магнитная восприимчивость размагниченного образца).^[1]

Более общие системы

Приведенные выше расчеты относятся к идентичным частицам. В реальном образце параметр магнитной анизотропии K_ты будет отличаться для каждой частицы. Это не меняет соотношение M_RS/M_s, но это меняет общую форму петли.^[3] Параметром, который часто используется для характеристики формы петли, является соотношение ЧАС_cr/ЧАС_c, что составляет 1,09 для образца с идентичными частицами и больше, если они не идентичны. Сюжеты M_RS/M_s против ЧАС_cr/ЧАС_c широко используются в рок магнетизм как мера состояния домена (однодоменный или же многодоменный ) в магнитных минералах.^[4]

Вольфарт отношения

Вольфарт определил отношения между остаточными свойствами, которые справедливы для любой системы частиц Стонера – Вольфарта:

${ displaystyle { begin {align} M_ {af} (H) & = M_ {rs} -M_ {ir} (H) M_ {df} (H) & = M_ {rs} -2M_ {ir} (Н) конец {выровнено}}. ,}$

(8)

Эти Вольфарт отношения сравните IRM с размагничиванием остаточной способности насыщения. Вольфарт также описал более общие отношения, сравнивая получение IRM ненасыщения и его размагничивание.^[3]

Отношения Вольфарта можно представить в виде линейных графиков остаточной намагниченности одного по отношению к другому. Эти Участки Хенкель часто используются для отображения измеренных кривых остаточной намагниченности реальных образцов и определения применимости к ним теории Стонера – Вольфарта.^[5]

Расширения модели

Модель Стонера – Вольфарта полезна отчасти потому, что она очень проста, но часто не может представить реальные магнитные свойства магнита. Он был расширен несколькими способами:

• Обобщая магнитная анизотропия: Петли гистерезиса рассчитаны для частиц с чистым кубическим магнитокристаллическая анизотропия а также смеси кубической и одноосной анизотропии.
• Добавление тепловые колебания: Температурные флуктуации делают возможными переходы между стабильными состояниями, уменьшая гистерезис в системе. Pfeiffer^[6] добавлен эффект тепловых флуктуаций в модель Стонера – Вольфарта. Это делает гистерезис зависимым от размера магнитной частицы. Поскольку размер частиц (и время между прыжками ) уменьшается, со временем переходит в суперпарамагнетизм.
• Добавление взаимодействий частиц: Магнитостатическая или обменная связь между магнитами может иметь большое влияние на магнитные свойства. Если магниты находятся в цепочке, они могут действовать в унисон, как частицы Стонера – Вольфарта. Этот эффект виден в магнитосомы из магнитотактические бактерии. В других схемах взаимодействия могут уменьшить гистерезис.
• Обобщая на неоднородное намагничивание: Это область микромагнетизм.

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Приложение Stoner-Wohlfarth для перемагничивания