Гипотеза Салливана - Sullivan conjecture

В математика, Гипотеза Салливана или же Гипотеза Салливана о отображениях классифицирующих пространств может относиться к любому из нескольких результатов и предположений, выдвинутых теория гомотопии работа Деннис Салливан. Основная тема и мотивация касаются фиксированная точка установить в групповые действия из конечная группа ${displaystyle G}$ . Однако наиболее простая формулировка заключается в том, что классификация пространства ${displaystyle BG}$ такой группы. Грубо говоря, такое пространство сложно нанести на карту. ${displaystyle BG}$ непрерывно в конечный CW комплекс ${displaystyle X}$ нетривиальным образом. Такая версия гипотезы Салливана была впервые доказана Хейнс Миллер.^[1] В частности, в 1984 году Миллер доказал, что функциональное пространство, несущие компактно-открытая топология, из базовая точка -сохранение отображений из ${displaystyle BG}$ к ${displaystyle X}$ является слабо сжимаемый.

Это эквивалентно утверждению, что карта ${displaystyle X}$ → ${displaystyle F (BG, X)}$ из X в функциональное пространство отображений ${displaystyle BG}$ → ${displaystyle X}$ , не обязательно с сохранением базовой точки, заданной отправкой точки ${displaystyle x}$ из ${displaystyle X}$ к постоянной карте, изображение которой ${displaystyle x}$ это слабая эквивалентность. Картографическое пространство ${displaystyle F (BG, X)}$ является примером гомотопического множества неподвижных точек. Конкретно, ${displaystyle F (BG, X)}$ - гомотопическое множество неподвижных точек группы ${displaystyle G}$ действуя тривиальным действием на ${displaystyle X}$ . В общем, для группы ${displaystyle G}$ действуя в пространстве ${displaystyle X}$ , неподвижными точками гомотопии являются неподвижные точки ${displaystyle F (EG, X) ^ {G}}$ картографического пространства ${displaystyle F (EG, X)}$ карт из универсальный чехол ${displaystyle EG}$ из ${displaystyle BG}$ к ${displaystyle X}$ под ${displaystyle G}$ -действие на ${displaystyle F (EG, X)}$ данный ${displaystyle g}$ в ${displaystyle G}$ действует на карте ${displaystyle f}$ в ${displaystyle F (EG, X)}$ отправив его ${displaystyle gfg ^ {- 1}}$ . В ${displaystyle G}$ -эквивариантное отображение из ${displaystyle EG}$ в одну точку ${displaystyle *}$ индуцирует естественное отображение η: ${displaystyle X ^ {G} = F (*, X) ^ {G}}$ → ${displaystyle F (EG, X) ^ {G}}$ от неподвижных точек к гомотопическим неподвижным точкам ${displaystyle G}$ действующий на ${displaystyle X}$ . Теорема Миллера состоит в том, что η является слабой эквивалентностью тривиального ${displaystyle G}$ -действия на конечномерные CW-комплексы. Важный ингредиент и мотивация (см. [1]) для его доказательства - результат Гуннар Карлссон на гомология из ${displaystyle BZ / 2}$ как нестабильный модуль над Алгебра Стинрода.^[2]

Теорема Миллера обобщает версию гипотезы Салливана, в которой действие на ${displaystyle X}$ разрешено быть нетривиальным. В,^[3] Салливан предположил, что η является слабой эквивалентностью после некоторой процедуры p-пополнения, выполненной А. Бусфилдом и Д. Кан для группы ${displaystyle G = Z / 2}$ . Это предположение было неверным, как было сказано, но правильная версия была дана Миллером и независимо доказана Дуайером-Миллером-Нейзендорфер,^[4] Карлссон,^[5] и Жан Ланн,^[6] показывая, что естественная карта ${displaystyle (X ^ {G}) _ {p}}$ → ${displaystyle F (EG, (X) _ {p}) ^ {G}}$ является слабой эквивалентностью, когда порядок ${displaystyle G}$ степень простого числа p, и где ${displaystyle (X) _ {p}}$ обозначает p-пополнение Баусфилда-Кана ${displaystyle X}$ . Доказательство Миллера связано с нестабильным Спектральная последовательность Адамса, Доказательство Карлссона использует его утвердительное решение Гипотеза Сигала а также предоставляет информацию о гомотопических неподвижных точках ${displaystyle F (EG, X) ^ {G}}$ до завершения, и в доказательстве Ланна участвует его Т-функтор.^[7]