Подведение итогов серии Грандис - Википедия - Summation of Grandis series

Общие Соображения

Устойчивость и линейность

Формальные манипуляции, которые приводят к присвоению 1 - 1 + 1 - 1 + · · · значения ¹⁄₂ включают:

• Складывая или вычитая два ряда посередине,
• Почленное умножение на скаляр,
• «Смещение» ряда без изменения суммы, и
• Увеличение суммы путем добавления нового члена в заголовок ряда.

Все это допустимые манипуляции для сумм сходящихся рядов, но 1 - 1 + 1 - 1 + · · · не является сходящимся рядом.

Тем не менее, существует множество методов суммирования, которые учитывают эти манипуляции и присваивают «сумму» ряду Гранди. Два самых простых метода: Чезаро суммирование и Суммирование Абеля.^[1]

Сумма Чезаро

Первый строгий метод суммирования расходящихся рядов был опубликован Эрнесто Сезаро в 1890 году. Основная идея аналогична вероятностному подходу Лейбница: по сути, сумма Чезаро ряда является средним всех его частичных сумм. Формально один вычисляет, для каждого п, среднее σ_п из первых п частичными суммами и принимает предел этих средних Чезаро как п уходит в бесконечность.

Для ряда Гранди последовательность средних арифметических равна

1, ¹⁄₂, ²⁄₃, ²⁄₄, ³⁄₅, ³⁄₆, ⁴⁄₇, ⁴⁄₈, …

или, что более наглядно,

(¹⁄₂+¹⁄₂), ¹⁄₂, (¹⁄₂+¹⁄₆), ¹⁄₂, (¹⁄₂+¹⁄₁₀), ¹⁄₂, (¹⁄₂+¹⁄₁₄), ¹⁄₂, …

куда

${ displaystyle sigma _ {n} = { frac {1} {2}}}$ даже для п и ${ displaystyle sigma _ {n} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2n}}}$ для нечетных п.

Эта последовательность средних арифметических сходится к ¹⁄₂, поэтому сумма Чезаро Σа_k является ¹⁄₂. Эквивалентно, говорят, что предел Чезаро последовательности 1, 0, 1, 0,… ¹⁄₂.^[2]

Сумма Чезаро 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · равна ²⁄₃. Таким образом, сумму Чезаро ряда можно изменить, вставив бесконечно много нулей, а также бесконечное количество скобок.^[3]

Ряды также можно суммировать более общими дробными методами (C, a).^[4]

Абель Сум

Суммирование Абеля похоже на попытку Эйлера определить суммы расходящихся рядов, но оно позволяет избежать возражений Калле и Н. Бернулли за счет точного построения функции, которую нужно использовать. Фактически, Эйлер, вероятно, хотел ограничить свое определение степенным рядом,^[5] и на практике он использовал его почти исключительно^[6] в форме, известной сейчас как метод Абеля.

Учитывая серию а₀ + а₁ + а₂ + · · ·, Образуется новая серия а₀ + а₁Икс + а₂Икс² + · · ·. Если последний ряд сходится при 0 < Икс <1 к функции с пределом как Икс стремится к 1, то этот предел называется суммой Абеля исходного ряда после Теорема Абеля что гарантирует соответствие процедуры обычному суммированию. Для серии Гранди есть

${ displaystyle A sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} = lim _ {x rightarrow 1} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- x) ^ {n} = lim _ {x rightarrow 1} { frac {1} {1 + x}} = { frac {1} {2}}.}$ ^[7]

Связанные серии

Соответствующее вычисление, что сумма Абеля 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · есть ²⁄₃ включает функцию (1 +Икс)/(1 + Икс + Икс²).

Всякий раз, когда ряд суммируем по Чезаро, он также суммируем по Абелю и имеет ту же сумму. С другой стороны, принимая Продукт Коши из ряда Гранди с самим собой дает ряд, суммируемый по Абелю, но не суммируемый по Чезаро:

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

есть сумма Абеля ¹⁄₄.^[8]

Разбавление

Чередование интервалов

Что обычная сумма Абеля 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · равна ²⁄₃ можно также сформулировать как (A, λ) сумму исходного ряда 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·, где (λ_п) = (0, 2, 3, 5, 6,…). Аналогично (A, λ) сумма 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·, где (λ_п) = (0, 1, 3, 4, 6,…) является ¹⁄₃.^[9]

Шаг по степенному закону

Экспоненциальный интервал

Суммируемость числа 1 - 1 + 1 - 1 + · · · может быть нарушена разделением его членов экспоненциально более длинными и длинными группами нулей. Самый простой пример для описания - это ряд, в котором (−1)^п появляется в ранге 2^п:

0 + 1 − 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + · · ·.

Эта серия не суммируема по Чезаро. После каждого ненулевого члена частичные суммы проводят достаточно времени, задерживаясь на 0 или 1, чтобы приблизить среднюю частичную сумму на полпути к этой точке от своего предыдущего значения. За интервал 2^2м−1 ≤ п ≤ 2^2м − 1 после (- 1) члена, пth средние арифметические изменяются в диапазоне

${ displaystyle { frac {2} {3}} left ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {2m} +2}} right) ; mathrm {to} ; { frac {1} {3}} (1-2 ^ {- 2m}),}$

или о ²⁄₃ к ¹⁄₃.^[10]

Фактически, экспоненциально разнесенный ряд также не суммируем по Абелю. Его сумма Абеля является пределом при Икс приближается к 1 функции

F(Икс) = 0 + Икс − Икс² + 0 + Икс⁴ + 0 + 0 + 0 − Икс⁸ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + Икс¹⁶ + 0 + · · ·.

Эта функция удовлетворяет функциональному уравнению:

${ displaystyle { begin {array} {rcl} F (x) & = & displaystyle xx ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {8} + cdots [1em] & = & displaystyle x- left [(x ^ {2}) - (x ^ {2}) ^ {2} + (x ^ {2}) ^ {4} - cdots right] [1em] & = & displaystyle xF (x ^ {2}). end {array}}}$

Из этого функционального уравнения следует, что F(Икс) примерно колеблется около ¹⁄₂ в качестве Икс подходы 1. Чтобы доказать, что амплитуда колебаний отлична от нуля, помогает разделить F на точно периодическую и апериодическую части:

${ Displaystyle F (х) = пси (х) + фи (х)}$

куда

${ displaystyle Phi (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n! (1 + 2 ^ {n})}} слева ( log { frac {1} {x}} right) ^ {n}}$

удовлетворяет тому же функциональному уравнению, что и F. Теперь это означает, что Ψ (Икс) = −Ψ (Икс²) = Ψ (Икс⁴), поэтому является периодической функцией loglog (1 /Икс). Поскольку dy (стр.77) говорит о «другом решении» и «явно не постоянном», хотя технически он не доказывает, что F и Φ различны. Поскольку Φ-часть имеет предел ¹⁄₂, F тоже колеблется.

Разделение весов

Для любой функции φ (x) такой, что φ (0) = 1, а производная φ интегрируема по (0, + ∞), то обобщенная φ-сумма ряда Гранди существует и равна ¹⁄₂:

${ Displaystyle S _ { varphi} = lim _ { delta downarrow 0} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} varphi ( delta k) = { гидроразрыв {1} {2}}.}$

Сумма Чезаро или Абеля восстанавливается, если φ быть треугольной или экспоненциальной функцией соответственно. Если дополнительно предположить, что φ непрерывно дифференцируемо, то утверждение можно доказать, применяя теорема о среднем значении и преобразование суммы в интеграл. Вкратце:

${ displaystyle { begin {array} {rcl} S _ { varphi} & = & displaystyle lim _ { delta downarrow 0} sum _ {k = 0} ^ { infty} left [ varphi (2k delta) - varphi (2k delta + delta) right] [1em] & = & displaystyle lim _ { delta downarrow 0} sum _ {k = 0} ^ { infty} varphi '(2k delta + c_ {k}) (- delta) [1em] & = & displaystyle - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} varphi '(x) , dx = - { frac {1} {2}} varphi (x) | _ {0} ^ { infty} = { frac {1} {2}}. end {массив}}}$^[11]

Преобразование Эйлера и аналитическое продолжение

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июль 2010 г.)

Сумма Бореля

В Сумма Бореля серии Гранди снова ¹⁄₂, поскольку

${ displaystyle 1-x + { frac {x ^ {2}} {2!}} - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {4}} {4 !}} - cdots = e ^ {- x}}$

и

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} e ^ {- x} , dx = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- 2x} , dx = { frac {1} {2}}.}$^[12]

Ряды также можно просуммировать обобщенными (B, r) методами.^[13]

Спектральная асимметрия

Записи в серии Гранди можно связать с собственные значения бесконечномерного оператор на Гильбертово пространство. Придавая серию такую ​​интерпретацию, рождается идея спектральная асимметрия, который широко встречается в физике. Значение, к которому суммируется ряд, зависит от асимптотического поведения собственных значений оператора. Так, например, пусть ${ displaystyle { omega _ {n} }}$ быть последовательностью как положительных, так и отрицательных собственных значений. Ряд Гранди соответствует формальной сумме

${ displaystyle sum _ {n} operatorname {sgn} ( omega _ {n}) ;}$

куда ${ displaystyle operatorname {sgn} ( omega _ {n}) = pm 1}$ - знак собственного значения. Ряду можно присвоить конкретные значения с учетом различных пределов. Например, регулятор теплового ядра приводит к сумме

${ displaystyle lim _ {t to 0} sum _ {n} operatorname {sgn} ( omega _ {n}) e ^ {- t | omega _ {n} |}}$

которая для многих интересных случаев конечна при ненулевых т, а в пределе сходится к конечному значению.

Методы, которые не работают

В метод интегральной функции с п_п = ехр (-сп²) и c > 0.^[14]

В метод постоянной момента с

${ Displaystyle д чи = е ^ {- к ( журнал х) ^ {2}} х ^ {- 1} дх}$

и k > 0.^[15]

Геометрическая серия

В геометрическая серия в ${ Displaystyle (х-1)}$,

${ displaystyle { frac {1} {x}} = 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} - (x-1) ^ {3} + (x-1) ^ {4 } -...}$

сходится для ${ Displaystyle | х-1 | <1}$. Формально замена ${ displaystyle x = 2}$ даст

${ displaystyle { frac {1} {2}} = 1-1 + 1-1 + 1 -...}$

Тем не мение, ${ displaystyle x = 2}$ находится вне радиуса сходимости, ${ Displaystyle | х-1 | <1}$, поэтому такой вывод сделать нельзя.

Примечания

Рекомендации