Лемма Туэ - Википедия - Thues lemma

В модульная арифметика, Лемма Туэ грубо заявляет, что каждое модульное целое число может быть представлено «модульной дробью», так что числитель и знаменатель имеют абсолютные значения не больше, чем квадратный корень модуля.

Точнее для каждой пары целые числа (а, м) с м > 1, учитывая два натуральных числа Икс и Y такой, что Икс ≤ м < XY, есть два целых числа Икс и у такой, что

${ Displaystyle ау эквив х { pmod {м}}}$

и

${ Displaystyle | х |$

Обычно берется Икс и Y равно наименьшему целому числу больше квадратного корня из м, но общая форма иногда бывает полезна и упрощает формулировку теоремы единственности (ниже).^[1]

Первое известное доказательство приписывается Аксель Туэ  (1902 ),^[2] кто использовал голубятня аргумент.^[3][4] Это может быть использовано для доказательства Теорема Ферма о суммах двух квадратов принимая м быть первым п это 1 мод 4 и беря а удовлетворить а² + 1 = 0 мод п. (Такое «а» гарантируется для «р» Теорема Вильсона.^[5])

Уникальность

Вообще говоря, решение, существование которого утверждает лемма Туэ, не единственно. Например, когда а = 1 обычно есть несколько решений (Икс,у) = (1,1), (2,2), (3,3), ..., при условии что Икс и Y не так уж и малы. Поэтому можно только надеяться на уникальность Рациональное число Икс/у, которому а конгруэнтно по модулю м если у и м взаимно просты. Тем не менее, это рациональное число не обязательно должно быть уникальным; например, если м = 5, а = 2 и Икс = Y = 3, есть два решения

${ Displaystyle 2а + 1 эквив-а + 2 эквив 0 { pmod {5}}}$.

Однако для Икс и Y достаточно мала, если решение существует, то оно уникально. Точнее, с указанными выше обозначениями, если

${ displaystyle 2XY$

и

${ displaystyle ay_ {1} -x_ {1} Equiv ay_ {2} -x_ {2} Equiv 0 { pmod {m}}}$,

с

${ displaystyle left | x_ {1} right |$

и

${ displaystyle left | x_ {2} right |$

тогда

${ displaystyle { frac {x_ {1}} {y_ {1}}} = { frac {x_ {2}} {y_ {2}}}.}$

Этот результат является основой для рациональная реконструкция, что позволяет использовать модульную арифметику для вычисления рациональных чисел, для которых известны границы для числителей и знаменателей.^[6]

Доказательство довольно просто: умножая каждое сравнение на другое у_я и вычитая, получаем

${ displaystyle y_ {2} x_ {1} -y_ {1} x_ {2} Equiv 0 { pmod {m}}.}$

Гипотезы предполагают, что каждый член имеет абсолютное значение ниже, чем XY < м/2, а значит, абсолютная величина их разности меньше, чем м. Отсюда следует, что ${ displaystyle y_ {2} x_ {1} -y_ {1} x_ {2} = 0}$, а значит, и результат.

Вычислительные решения

Первоначальное доказательство леммы Туэ неэффективно в том смысле, что оно не предоставляет какого-либо быстрого метода вычисления решения. В расширенный алгоритм Евклида, позволяет нам предоставить доказательство, которое приводит к эффективному алгоритму, имеющему такой же вычислительная сложность из Евклидов алгоритм.^[7]

Точнее, учитывая два целых числа м и а фигурирующий в лемме Туэ, расширенный алгоритм Евклида вычисляет три последовательности целых чисел (т_я), (Икс_я) и (у_я) такой, что

${ displaystyle t_ {i} m + y_ {i} a = x_ {i} quad { text {for}} i = 0,1, ...,}$

где Икс_я неотрицательны и строго убывают. Искомое решение - с точностью до знака первая пара (Икс_я, у_я) такой, что Икс_я < Икс.

Смотрите также

• Аппроксимация Паде, аналогичная теория, для аппроксимации Серия Тейлор к рациональные функции

Рекомендации

• Шуп, Виктор (2005). Вычислительное введение в теорию чисел и алгебру (PDF). Издательство Кембриджского университета. Получено 26 февраля 2016.