Теорема Вильсона - Википедия - Wilsons theorem

В теория чисел, Теорема Вильсона заявляет, что натуральное число п > 1 - это простое число если и только если продукт всех положительные целые числа меньше, чем п на единицу меньше, чем кратное п. То есть (используя обозначения модульная арифметика ), факториал ${ Displaystyle (п-1)! = 1 раз 2 раз 3 раз cdots раз (п-1)}$ удовлетворяет

${ Displaystyle (п-1)! эквив ; - 1 { pmod {п}}}$

когда именно п простое число. Другими словами, любое число п является простым числом тогда и только тогда, когда (п - 1)! + 1 делится на п.^[1]

История

Эта теорема была сформулирована Ибн аль-Хайсам (ок. 1000 г. н.э.),^[2] а в 18 веке Джон Уилсон.^[3] Эдвард Уоринг объявил теорему в 1770 году, хотя ни он, ни его ученик Вильсон не смогли ее доказать. Лагранж дал первое доказательство в 1771 году.^[4] Есть свидетельства того, что Лейбниц также знал о результате столетием раньше, но никогда не публиковал его.^[5]

Пример

Для каждого из значений п от 2 до 30 в следующей таблице указано число (п - 1)! а остальное при (п - 1)! делится на п. (В обозначениях модульная арифметика, остаток при м делится на п написано м мод п.) Цвет фона синий для основной ценности п, золото для составной значения.

Таблица факториала и его остаток по модулю п

${ displaystyle n}$	${ Displaystyle (п-1)!}$ (последовательность A000142 в OEIS )	${ Displaystyle (п-1)! { bmod {}} п}$ (последовательность A061006 в OEIS )
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0

Доказательства

Оба приведенных ниже доказательства (для простых модулей) используют тот факт, что классы вычетов по модулю простого числа являются поле —Смотрите статью основное поле Больше подробностей.^[6] Теорема Лагранжа, который утверждает, что в любом поле a многочлен из степень п имеет самое большее п корни, требуется для обоих доказательств.

Композитный модуль

Если п составно делится на некоторое простое число q, куда 2 ≤ q ≤ п − 2. Если (п − 1)! соответствовали −1 (mod п) то оно также было бы конгруэнтно −1 (mod q). Но (п - 1)! ≡ 0 (модq).

На самом деле, правда больше. За исключением 4, где 3! = 6 ≡ 2 (mod 4), если п составно, то (п - 1)! конгруэнтно 0 (modп). Доказательство разбивается на два случая: во-первых, если п можно разложить на множители как произведение двух неравных чисел, п = ab, где 2 ≤а < б ≤ п - 2, затем оба а и б появится в продукте 1 × 2 × ... × (п − 1) = (п − 1)! и (п - 1)! будет делиться на п. Если п не имеет такой факторизации, то это должен быть квадрат некоторого простого q, q > 2. Но тогда 2q < q² = п, обе q и 2q будут факторы (п - 1) !, и снова п делит (п − 1)!.

Основной модуль

Элементарное доказательство

Результат тривиален, когда п = 2так что предположим п нечетное простое число, п ≥ 3. Поскольку классы вычетов (mod п) - поле, каждое ненулевое а имеет единственный мультипликативный обратный, а⁻¹. Теорема Лагранжа означает, что единственные значения а для которого а ≡ а⁻¹ (мод п) находятся а ≡ ± 1 (мод. п) (потому что соответствие а² ≡ 1 может иметь не более двух корней (mod п)). Следовательно, за исключением ± 1, множители (п − 1)! могут быть расположены неравными парами,^[7] где произведение каждой пары ≡ 1 (мод п). Это доказывает теорему Вильсона.

Например, если п = 11,

${ Displaystyle 10! = [(1 CDOT 10)] CDOT [(2 CDOT 6) (3 CDOT 4) (5 CDOT 9) (7 CDOT 8)] эквив [-1] CDOT [1 cdot 1 cdot 1 cdot 1] Equiv -1 { pmod {11}}.}$

Доказательство с помощью маленькой теоремы Ферма.

Опять же, результат тривиален для п = 2, поэтому предположим п нечетное простое число, п ≥ 3. Рассмотрим многочлен

${ Displaystyle g (x) = (x-1) (x-2) cdots (x- (p-1)).}$

грамм имеет степень п − 1, ведущий термин Икс^{п − 1}, и постоянный член (п − 1)!. Его п − 1 корни 1, 2, ..., п − 1.

Теперь рассмотрим

${ displaystyle h (x) = x ^ {p-1} -1.}$

час также имеет степень п − 1 и ведущий термин Икс^{п − 1}. По модулю п, Маленькая теорема Ферма говорит, что у него тоже есть п − 1 корни, 1, 2, ..., п − 1.

Наконец, рассмотрим

${ Displaystyle f (x) = g (x) -h (x).}$

ж имеет высшее образование п - 2 (так как главные члены сокращаются) и по модулю п также имеет п − 1 корни 1, 2, ..., п − 1. Но теорема Лагранжа говорит, что не может быть больше, чем п - 2 корня. Следовательно, ж должен быть тождественно нулем (mod п), поэтому его постоянный член (п - 1)! + 1 ≡ 0 (мод п). Это теорема Вильсона.

Доказательство с использованием теорем Силова.

Можно вывести теорему Вильсона из конкретного приложения Теоремы Силова. Позволять п быть первым. Сразу можно сделать вывод, что симметричная группа ${ displaystyle S_ {p}}$ точно ${ Displaystyle (п-1)!}$ элементы порядка п, а именно п-циклы ${ displaystyle C_ {p}}$. С другой стороны, каждый силовский п-подгруппа в ${ displaystyle S_ {p}}$ это копия ${ displaystyle C_ {p}}$. Отсюда следует, что число силовских п-подгруппы ${ displaystyle n_ {p} = (p-2)!}$. Из третьей теоремы Силова следует

${ displaystyle (p-2)! Equiv 1 { pmod {p}}.}$

Умножая обе стороны на (п − 1) дает

${ Displaystyle (п-1)! эквив п-1 экв-1 { pmod {р}},}$

то есть результат.

Приложения

Тесты на первичность

На практике теорема Вильсона бесполезна как тест на простоту потому что вычисления (п - 1)! по модулю п для больших п является вычислительно сложный, и известны гораздо более быстрые тесты на простоту (действительно, даже судебное отделение значительно эффективнее).

Квадратичные вычеты

Используя теорему Вильсона, для любого нечетного простого числа п = 2м + 1, мы можем переставить левую часть

${ Displaystyle 1 CDOT 2 CDOTS (п-1) Equiv -1 { pmod {p}}}$

чтобы получить равенство

${ Displaystyle 1 CDOT (п-1) CDOT 2 CDOT (р-2) CDOTS м CDOT (PM) Equiv 1 CDOT (-1) CDOT 2 CDOT (-2) cdots m cdot (-m) Equiv -1 { pmod {p}}.}$

Это становится

${ Displaystyle prod _ {J = 1} ^ {m} J ^ {2} Equiv (-1) ^ {m + 1} { pmod {p}}}$

или же

${ displaystyle (m!) ^ {2} Equiv (-1) ^ {m + 1} { pmod {p}}.}$

Мы можем использовать этот факт, чтобы доказать часть известного результата: для любого простого числа п такой, что п ≡ 1 (мод.4) число (−1) представляет собой квадрат (квадратичный вычет ) мод п. Предположим п = 4k + 1 для некоторого целого числа k. Тогда мы можем взять м = 2k выше, и мы заключаем, что (м!)² конгруэнтно (−1).

Формулы для простых чисел

Теорема Вильсона была использована для построения формулы для простых чисел, но они слишком медленные, чтобы иметь практическую ценность.

p-адическая гамма-функция

Теорема Вильсона позволяет определить p-адическая гамма-функция.

Обобщение Гаусса

Гаусс доказал, что^[8]

${ displaystyle prod _ {k = 1 attop gcd (k, m) = 1} ^ {m} ! ! k Equiv { begin {cases} -1 { pmod {m}} & { text {if}} m = 4, ; p ^ { alpha}, ; 2p ^ { alpha} ; ; , 1 { pmod {m}} & { text {иначе }} end {case}}}$

куда п представляет собой нечетное простое число и ${ displaystyle alpha}$ положительное целое число. Ценности м для которых произведение равно −1, - это в точности те, для которых существует примитивный корень по модулю м.

Это далее обобщает тот факт, что в любом конечный абелева группа, либо произведение всех элементов является единицей, либо существует ровно один элемент а из порядок 2 (но не оба). В последнем случае произведение всех элементов равноа.

Смотрите также

• Уилсон прайм
• Таблица сравнений

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Теорема Вильсона», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Вильсона». MathWorld.
• Система Мицар доказательство: http://mizar.org/version/current/html/nat_5.html#T22