Ундулоид - Unduloid

Компьютерный ундулоид

В геометрия, ундулоидный, или же ондулоид, это поверхность с постоянная ненулевая средняя кривизна получен как поверхность вращения из эллиптическая цепная линия: то есть по прокатка ан эллипс по фиксированной линии, отслеживая фокус, и вращая получившуюся кривую вокруг линии. В 1841 г. Делоне доказал, что единственный поверхности вращения с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные вращением рулетки коников. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и узловатый.^[1]

Формула

Позволять ${displaystyle operatorname {sn} (u, k)}$ представляют собой нормальный Синусоидальная функция Якоби и ${displaystyle operatorname {dn} (u, k)}$ быть нормальным Эллиптическая функция Якоби и разреши ${displaystyle operatorname {F} (z, k)}$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода и ${displaystyle operatorname {E} (z, k)}$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода. Позволять а быть длиной эллипса большая ось, и е быть эксцентриситет эллипса. Позволять k быть фиксированным значением от 0 до 1, называемым модулем.

Учитывая эти переменные,

${displaystyle operatorname {x} (u) = - a (1-e) (имя оператора {F} (имя оператора {sn} (u, k), k) + имя оператора {F} (1, k)) - a (1 + e) (имя оператора {E} (имя оператора {sn} (u, k), k) + имя оператора {E} (1, k)),}$

${displaystyle operatorname {y} (u) = a (1 + e) ​​operatorname {dn} (u, k),}$

Тогда формула для поверхности вращения, которая является ундулоидом, имеет следующий вид:

${displaystyle operatorname {X} (u, v) = langle имя оператора {x} (u), имя оператора {y} (u) cos (v), имя оператора {y} (u) sin (v) угол,}$

Характеристики

Одно интересное свойство ундулоида состоит в том, что средняя кривизна постоянно. Фактически, средняя кривизна по всей поверхности всегда равна удвоенной длине большой оси: 1 / (2а).

Также, геодезические на ундулоиде подчиняться Отношение Клеро, и поэтому их поведение предсказуемо.

Возникновение в материаловедении

Ундулоиды не являются обычным явлением в природе. Однако есть несколько обстоятельств, при которых они формируются. Впервые задокументировано в 1970 году, когда сильный электрический ток пропускался через тонкий (0,16–1,0 мм) горизонтально установленный жестко вытянутый (незакаленный ) серебро Проволока приведет к образованию ундулоидов по ее длине.^[2]Позже было обнаружено, что это явление также встречается в молибден провод.^[3]Ундулоиды также были сформированы с феррожидкости.^[4] Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый пленкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра.

Рекомендации