Поверхность постоянной средней кривизны - Constant-mean-curvature surface

Нодоид, поверхность с постоянной средней кривизной

Ундулоид, поверхность с постоянной средней кривизной

В дифференциальная геометрия, поверхности постоянной средней кривизны (CMC) поверхности с постоянным средняя кривизна.^[1][2] Это включает в себя минимальные поверхности как подмножество, но обычно они рассматриваются как особый случай.

Обратите внимание, что эти поверхности обычно отличаются от постоянных Гауссова кривизна поверхности, за исключением сфера.

История

В 1841 г. Делоне доказал, что единственный поверхности вращения с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные вращением рулетки коников. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, то ундулоидный и узловатый.^[3]

В 1853 г. Дж. Х. Джелле показал, что если ${ displaystyle S}$ компактная звездчатая поверхность в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ с постоянной средней кривизной, то это стандартная сфера.^[4] Впоследствии Александров А.Д. доказал, что компактная вложенная поверхность в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ с постоянной средней кривизной ${ displaystyle H neq 0}$ должна быть сфера.^[5] Основываясь на этом Х. Хопф в 1956 г. предположил, что любая погруженная компактная ориентируемая гиперповерхность постоянной средней кривизны в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$должен быть стандартным встроенным ${ displaystyle n-1}$ сфера. Это предположение было опровергнуто в 1982 г. Ву-И Сяном с использованием контрпримера в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$. В 1984 г. Генри К. Венте построил Венте тор, погружение в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ из тор с постоянной средней кривизной.^[6]

До этого момента казалось, что поверхности CMC встречаются редко; новые методы дали множество примеров.^[7] В частности, методы склеивания позволяют произвольно комбинировать поверхности CMC.^[8][9] Поверхности Делоне также можно комбинировать с погруженными «пузырьками», сохраняя свои свойства КМЦ.^[10]

Одинаковые размеры шеи

Неравные размеры шеи

С узловатым концом

Триундулоиды с разным размером шеи. При изменении размеров шеи меняются асимптотические направления.

Микс показал, что не существует врезанных поверхностей CMC с одним концом в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$.^[11] Кореваар, Куснер и Соломон доказали, что полная вложенная поверхность CMC будет иметь концы, асимптотические по отношению к ундулоидам.^[12] На каждом конце есть ${ Displaystyle п (2 пи -n)}$ «сила» вдоль асимптотической оси ундулоида (где n - длина окружности шеи), сумма которой должна быть сбалансирована для существования поверхности. Текущая работа включает классификацию семейств закладных поверхностей CMC с точки зрения их пространства модулей.^[13] В частности, для ${ displaystyle k geq 3}$ копланарный k-ундулоиды рода 0 удовлетворяют ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {к} п_ {я} leq (к-1) пи}$ для нечетных k, и ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {к} п_ {я} Leq к пи}$ даже дляk. В большинстве k - 2 конца могут быть цилиндрическими.^[7]

Способы генерации

Формула представления

Как и для минимальных поверхностей, существует тесная связь с гармоническими функциями. Ориентированная поверхность ${ displaystyle S}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ имеет постоянную среднюю кривизну тогда и только тогда, когда его Карта Гаусса это гармоническая карта.^[14] Формула представления Кенмоцу^[15] является аналогом Параметризация Вейерштрасса – Эннепера минимальных поверхностей:

Позволять ${ displaystyle V}$ быть открытым односвязным подмножеством ${ Displaystyle mathbb {C}}$ и ${ displaystyle H}$ - произвольная ненулевая действительная константа. Предполагать ${ displaystyle phi: V rightarrow mathbb {C}}$ является гармонической функцией в сфере Римана. Если ${ displaystyle phi _ { bar {z}} neq 0}$ тогда ${ displaystyle X: V rightarrow R}$ определяется

${ Displaystyle X (z) = Re int _ {z_ {0}} ^ {z} X_ {z} (z) , dz}$

с

${ displaystyle X_ {z} (z) = { frac {-1} {H (1+ phi (z) { bar { phi}} (z)) ^ {2}}} left { (1- phi (z) ^ {2}, i (1+ phi (z) ^ {2}), 2 phi (z)) { frac { bar { partial phi}} { частичный { bar {z}}}} (z) right }}$

за ${ displaystyle z in V}$ регулярная поверхность, имеющая ${ displaystyle phi}$ как отображение Гаусса и средняя кривизна ${ displaystyle H}$.

За ${ displaystyle phi (z) = - 1 / { bar {z}}}$ и ${ displaystyle H = 1}$ это создает сферу. ${ displaystyle phi (z) = - e ^ {ix}}$ и ${ displaystyle H = 1/2}$ дает цилиндр, где ${ displaystyle z = x + iv}$.

Метод сопряженных родственников

В 1970 году Лоусон показал, что каждая поверхность CMC в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$имеет изометрическую "двоюродную" минимальную поверхность в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3}}$.^[16][17] Это позволяет строить, начиная с геодезических многоугольников в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3}}$, которые охватывают минимальный участок, который может быть расширен до полной поверхности путем отражения, а затем превращен в поверхность CMC.

CMC Tori

Хитчин, Пинкалл, Стерлинг и Бобенко показали, что все погружения двумерного тора с постоянной средней кривизной в пространство образуют ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}, mathbb {S} ^ {3}}$ и ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ можно описать чисто алгебро-геометрическими данными. Это может быть распространено на подмножество погружений CMC плоскости конечного типа. Точнее, существует явная биекция между погружениями CMC ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}, mathbb {S} ^ {3}}$ и ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$, а спектральные данные вида ${ displaystyle ( Sigma, lambda, rho, lambda _ {1}, lambda _ {2}, L)}$ куда ${ displaystyle Sigma}$ - гиперэллиптическая кривая, называемая спектральной кривой, ${ displaystyle lambda}$ является мероморфной функцией на ${ displaystyle Sigma}$, ${ displaystyle lambda _ {1}}$ и ${ displaystyle lambda _ {2}}$ точки на ${ Displaystyle mathbb {C} setminus {0 }}$, ${ displaystyle rho}$ антиголоморфная инволюция и ${ displaystyle L}$ это линейный пакет на ${ displaystyle Sigma}$ соблюдение определенных условий.^[18][19][20]

Дискретные численные методы

Дискретная дифференциальная геометрия может использоваться для создания приближений к поверхностям CMC (или дискретным аналогам), обычно путем минимизации подходящего функционала энергии.^[21][22]

Приложения

Поверхности ККМ естественны для представлений мыльные пузыри, поскольку у них есть кривизна, соответствующая ненулевому перепаду давления.

Помимо макроскопических пузырьковых поверхностей, поверхности ККМ важны для формы границы раздела газ-жидкость на супергидрофобный поверхность.^[23]

Нравиться трижды периодические минимальные поверхности интерес к периодическим поверхностям CMC как модели для блок-сополимеры где разные компоненты имеют ненулевую межфазную энергию или натяжение. Построены аналоги КМЦ периодических минимальных поверхностей, дающие неравные разбиения пространства.^[24][25] Структуры CMC наблюдались в триблок-сополимерах ABC.^[26]

В архитектуре поверхности CMC актуальны для конструкции с воздушной опорой такие как надувные купола и ограждения, а также источник плавных органических форм.^[27]

Смотрите также

• Гипотеза о двойном пузыре
• Свободная поверхность
• Минимальная поверхность

Рекомендации

внешняя ссылка

• CMC-поверхности в проекте Scientific Graphics [9]
• Галерея поверхностей GeometrieWerkstatt [10]
• Галерея GANG поверхностей CMC [11]
• Noid, программное обеспечение для вычислений п-ноидные поверхности CMC [12]