Трижды периодическая минимальная поверхность - Википедия - Triply periodic minimal surface

Поверхность Шварца H

В дифференциальная геометрия, а трехпериодическая минимальная поверхность (TPMS) это минимальная поверхность в ℝ3 инвариантной относительно ранга 3 решетка переводов.

Эти поверхности обладают симметрией кристаллографическая группа. Известно множество примеров с кубической, четырехугольный, ромбоэдрический, и ромбический симметрии. Моноклиника и триклинический примеры, несомненно, существуют, но их сложно параметризовать.[1]

TPMS актуальны в естествознании. TPMS наблюдались как биологические мембраны,[2] в качестве блок-сополимеры,[3] эквипотенциальные поверхности в кристаллах[4] Они также интересовались архитектурой, дизайном и искусством.

Характеристики

Практически все изученные TPMS не имеют самопересечений (т.е. встроенный в ℝ3): с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающихся поверхностей тривиально много).[5]

Все подключенные TPMS имеют род ≥ 3,[6] и в каждой решетке существуют ориентируемые вложенные TPMS любого рода ≥3.[7]

Встроенные TPMS ориентируются и разделяют пространство на два непересекающихся объема (лабиринта). Если они совпадают, поверхность называется балансирующей.[8]

История

Поверхность Schwarz P

Первыми примерами TPMS были поверхности, описанные Шварцем в 1865 г., затем поверхность, описанная его учеником Э. Р. Неовиусом в 1883 г.[9][10]

В 1970 г. Алан Шон разработал 12 новых TPMS, основанных на каркасных графах, охватывающих кристаллографические ячейки.[11][12] Хотя поверхности Шона стали популярными в естествознании, их конструкция не поддалась математическому доказательству существования и оставалась в значительной степени неизвестной в математике, пока Х. Керхер не доказал их существование в 1989 году.[13]

С помощью сопряженные поверхности было найдено гораздо больше поверхностей. Пока Представления Вейерштрасса известны более простые примеры, они не известны для многих поверхностей. Вместо методов из Дискретная дифференциальная геометрия часто используются.[5]

Семьи

Классификация TPMS - открытая проблема.

TPMS часто входят в семейства, которые можно непрерывно преобразовывать друг в друга. Микс нашел явное 5-параметрическое семейство TPMS рода 3, которое содержало все известные на тот момент примеры поверхностей рода 3, кроме гироида.[6] Члены этого семейства можно непрерывно деформировать друг в друга, оставаясь включенными в процесс (хотя решетка может меняться). В гироид и лидиноид находятся внутри отдельного однопараметрического семейства.[14]

Другой подход к классификации TPMS - изучение их пространственных групп. Для поверхностей, содержащих линии, возможные граничные многоугольники могут быть пронумерованы, обеспечивая классификацию.[8][15]

Обобщения

Периодические минимальные поверхности могут быть построены в S3[16] и ЧАС3.[17]

Можно обобщить разделение пространства на лабиринты, чтобы найти трипериодические (но, возможно, разветвленные) минимальные поверхности, которые делят пространство более чем на два подобъема.[18]

Квазипериодический минимальные поверхности построены в ℝ2×S1.[19] Было предложено, но не доказано, что минимальные поверхности с квазикристаллический заказать в ℝ3 существовать.[20]

Внешние галереи изображений

  • Галерея TPMS Кена Бракке [3]
  • TPMS в минимальном поверхностном архиве [4]
  • Трижды периодические поверхности минимального баланса с кубической симметрией [5]
  • Галерея периодических минимальных поверхностей [6]
  • 3-периодические минимальные поверхности без самопересечений [7]

Рекомендации

  1. ^ http://epinet.anu.edu.au/mat Mathematics/minimal_surfaces
  2. ^ Дэн, Юру; Mieczkowski, Марк (1998). «Трехмерная периодическая кубическая структура мембраны в митохондриях амеб Chaos carolinensis». Протоплазма. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 203 (1–2): 16–25. Дои:10.1007 / bf01280583. ISSN  0033-183X.
  3. ^ Цзян, Шимей; Гёпферт, Астрид; Абец, Волкер (2003). «Новые морфологии смесей блок-сополимеров посредством водородной связи». Макромолекулы. Американское химическое общество (ACS). 36 (16): 6171–6177. Дои:10.1021 / ma0342933. ISSN  0024-9297.
  4. ^ Маккей, Алан Л. (1985). «Периодические минимальные поверхности». Физика B + C. Elsevier BV. 131 (1–3): 300–305. Дои:10.1016/0378-4363(85)90163-9. ISSN  0378-4363.
  5. ^ а б Керхер, Германн; Полтье, Конрад (1996-09-16). «Построение трижды периодических минимальных поверхностей» (PDF). Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A: математические, физические и технические науки. Королевское общество. 354 (1715): 2077–2104. arXiv:1002.4805. Дои:10.1098 / Рста.1996.0093. ISSN  1364-503X.
  6. ^ а б Уильям Х. Микс, III. Геометрия и конформная структура трехпериодических минимальных поверхностей в R3. Докторская диссертация, Калифорнийский университет, Беркли, 1975 г.
  7. ^ Трайзет, М. (2008). «О роде трижды периодических минимальных поверхностей» (PDF). Журнал дифференциальной геометрии. Международная пресса Бостона. 79 (2): 243–275. Дои:10.4310 / jdg / 1211512641. ISSN  0022-040X.
  8. ^ а б [1]
  9. ^ Х. А. Шварц, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlin, 1933.
  10. ^ Э. Р. Неовиус, "Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimal Flachen", Акад. Abhandlungen, Гельсингфорс, 1883 г.
  11. ^ Алан Х. Шен, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая записка НАСА TN D-5541 (1970)"Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений Алана Шона" (PDF). В архиве (PDF) из оригинала на 2018-04-13. Получено 2019-04-12.
  12. ^ "Трипериодические минимальные поверхности Алана Х. Шона". В архиве из оригинала от 22.10.2018. Получено 2019-04-12.
  13. ^ Керхер, Германн (1989-03-05). «Трижды периодические минимальные поверхности Алана Шона и их постоянные компаньоны средней кривизны». Manuscripta Mathematica. 64 (3): 291–357. Дои:10.1007 / BF01165824.
  14. ^ Адам Г. Вейгаупт. Новые семейства вложенных трижды периодических минимальных поверхностей рода три в евклидово пространство. Докторская диссертация, Университет Индианы, 2006 г.
  15. ^ Фишер, В .; Кох, Э. (1996-09-16). «Охват минимальных поверхностей». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A: математические, физические и технические науки. Королевское общество. 354 (1715): 2105–2142. Дои:10.1098 / рста.1996.0094. ISSN  1364-503X.
  16. ^ Karcher, H .; Pinkall, U .; Стерлинг, И. (1988). "Новые минимальные поверхности в S3". Журнал дифференциальной геометрии. Международная пресса Бостона. 28 (2): 169–185. Дои:10.4310 / jdg / 1214442276. ISSN  0022-040X.
  17. ^ К. Польтье. Новые периодические минимальные поверхности в h3. У Г. Дзюка, Г. Хёйскен, и Дж. Хатчинсон, редакторы, Теоретические и численные аспекты геометрических вариационных задач, том 26, страницы 201–210. CMA Канберра, 1991.
  18. ^ Góźd, Wojciech T .; Холист, Роберт (1996-11-01). «Трижды периодические поверхности и многократно непрерывные структуры из модели микроэмульсий Ландау». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 54 (5): 5012–5027. Дои:10.1103 / Physreve.54.5012. ISSN  1063-651X. PMID  9965680.
  19. ^ Лоран Мазе, Мартин Трайзе, Квазипериодическая минимальная поверхность, Commentarii Mathematici Helvetici, стр. 573–601, 2008 г. [2]
  20. ^ Шэн, Цин; Эльзер, Вейт (1994-04-01). «Квазикристаллические минимальные поверхности». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 49 (14): 9977–9980. Дои:10.1103 / Physrevb.49.9977. ISSN  0163-1829. PMID  10009804.