Bours Minimal Surface - Википедия - Bours minimal surface

Поверхность Бура.

Поверхность Бура, без точек с р <0,5 для более четкого отображения самопересечений.

В математике Минимальная поверхность Бура является двумерным минимальная поверхность, встроенные самопересечениями в трехмерную Евклидово пространство. Он назван в честь Эдмон Бур, работа которого на минимальных поверхностях принесла ему в 1861 году математическую премию Французской академии наук.^[1]

Описание

Поверхность Бура пересекает себя на трех копланарных лучах, встречающихся под равными углами в начале пространства. Лучи разделяют поверхность на шесть листов, топологически эквивалентных полуплоскостям; три листа лежат в полупространстве над плоскостью лучей, а три - ниже. Четыре листа касаются друг друга по каждому лучу.

Уравнение

Точки на поверхности можно параметризовать в полярные координаты парой чисел (р, θ). Каждая такая пара соответствует точке в трех измерениях согласно параметрические уравнения^[2]

${ Displaystyle Икс (г, тета) = г соз ( тета) - (1/2) г ^ {2} соз (2 тета)}$

${ Displaystyle у (г, тета) = - р грех ( тета) (г соз ( тета) +1)}$

${ displaystyle z (r, theta) = (4/3) r ^ {3/2} cos (3 theta / 2).}$

Поверхность также может быть выражена как решение полиномиального уравнения порядка 16 от Декартовы координаты трехмерного пространства.

Характеристики

В Параметризация Вейерштрасса – Эннепера, метод превращения некоторых пар функций над сложные числа на минимальные поверхности, производит эту поверхность для двух функций ${ displaystyle f (z) = 1, g (z) = { sqrt {z}}}$. Боур доказал, что поверхности этого семейства являются развивающийся на поверхность вращения.^[3]

Рекомендации