Минимальная поверхность Шварца - Википедия - Schwarz minimal surface

В дифференциальная геометрия, то Минимальные поверхности Шварца находятся периодический минимальные поверхности первоначально описанный Герман Шварц.

В 1880-х годах Шварц и его ученик Э. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности.^[1]^[2] Позже они были названы Алан Шон в его основополагающем отчете, описывающем гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности.^[3]

Поверхности были созданы с использованием аргументов симметрии: дано решение Проблема плато для многоугольника отражения поверхности через граничные линии также создают допустимые минимальные поверхности, которые можно непрерывно соединять с исходным решением. Если минимальная поверхность встречается с плоскостью под прямым углом, то зеркальное изображение в плоскости также может быть соединено с поверхностью. Следовательно, по подходящему начальному многоугольнику, вписанному в элементарную ячейку, можно построить периодические поверхности.^[4]

Поверхности Шварца имеют топологический род 3 - минимальный род трехпериодических минимальных поверхностей.^[5]

Они рассматривались как модели для периодических наноструктуры в блок-сополимеры, электростатические эквипотенциальные поверхности в кристаллах,^[6] и гипотетические фазы графита с отрицательной кривизной.^[7]

Шварц П («Примитив»)

Поверхность Schwarz P

Шен назвал эту поверхность «примитивной», потому что она состоит из двух переплетенных конгруэнтных лабиринтов, каждый из которых имеет форму надутой трубчатой версии простой кубической решетки. В то время как стандартная P-поверхность имеет кубическую симметрию, элементарной ячейкой может быть любой прямоугольный ящик, создающий семейство минимальных поверхностей с той же топологией.^[8]

Его можно аппроксимировать неявной поверхностью

{ Displaystyle соз (х) + соз (у) + соз (г) = 0 }

.^[9]

Поверхность P была рассмотрена для прототипирования. тканевые каркасы с высоким отношением площади поверхности к объему и пористостью.^[10]

Schwarz D («Бриллиант»)

Поверхность Schwarz D

Шен назвал эту поверхность «ромб», потому что она состоит из двух переплетающихся конгруэнтных лабиринтов, каждый из которых имеет форму надутой трубчатой версии структура алмазной связки. В литературе ее иногда называют F-поверхностью.

Его можно аппроксимировать неявной поверхностью

{ Displaystyle грех (х) грех (у) грех (г) + грех (х) соз (у) соз (г) + соз (х) грех (у) соз (г) + cos (x) cos (y) sin (z) = 0. }

Существует точное выражение в терминах эллиптические интегралы, на основе Представительство Вейерштрасса.^[11]

Schwarz H («шестиугольник»)

Поверхность Шварца H

Поверхность H похожа на катеноид с треугольной границей, позволяющей замостить пространство.

Schwarz CLP («Скрещенные слои параллелей»)

Поверхность Schwarz CLP

Иллюстрации

Рекомендации

^ Х. А. Шварц, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlin, 1933.
^ Э. Р. Неовиус, "Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimalflächen", Акад. Abhandlungen, Гельсингфорс, 1883 г.
^ Алан Х. Шен, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая записка НАСА TN D-5541 (1970)[1]
^ Герман Кархер, Конрад Польтье, «Построение трехпериодических минимальных поверхностей», Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А 16 сентября 1996 г. 354 нет. 1715 2077–2104
^ http://schoengeometry.com/e-tpms.html
^ Маккей, Алан Л. (апрель 1985 г.). «Периодические минимальные поверхности». Природа. 314 (6012): 604–606. Дои:10.1038 / 314604a0.
^ Terrones, H .; Маккей, А. Л. (декабрь 1994 г.). «Отрицательно искривленный графит и трипериодические минимальные поверхности». Журнал математической химии. 15 (1): 183–195. Дои:10.1007 / BF01277558.
^ W. H. Meeks. Теория трипериодических минимальных поверхностей. Математика Университета Индианы. Журнал, 39 (3): 877-936, 1990.
^ «Трехпериодические ровные поверхности». В архиве из оригинала на 2019-02-12. Получено 2019-02-10.
^ Джэмин Шин, Сонки Ким, Дараэ Чжон, Хён Гын Ли, Донгсун Ли, Чжун Ён Лим и Чжунсок Ким, Анализ методом конечных элементов геометрии пор поверхности Schwarz P для тканевых каркасов, Математические проблемы в инженерии, том 2012, ID статьи 694194 , DOI: 10.1155 / 2012/694194
^ Пол Дж. Ф. Ганди, Джурдже Цвийович, Алан Л. Маккей, Яцек Клиновски, Точное вычисление трехпериодической D ("алмазной") минимальной поверхности, Chemical Physics Letters, Volume 314, Issues 5–6, 10 декабря 1999, страницы 543–551

[1] Х. А. Шварц, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Springer, Berlin, 1933.

[2] Э. Р. Неовиус, "Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimalflächen", Акад. Abhandlungen, Гельсингфорс, 1883 г.

[3] Алан Х. Шен, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая записка НАСА TN D-5541 (1970)[1]

[4] Герман Кархер, Конрад Польтье, «Построение трехпериодических минимальных поверхностей», Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А 16 сентября 1996 г. 354 нет. 1715 2077–2104

[5] ttp://schoengeometry.com/e-tpms.html

[6] Маккей, Алан Л. (апрель 1985 г.). «Периодические минимальные поверхности». Природа. 314 (6012): 604–606. Дои:10.1038 / 314604a0.

[7] Terrones, H .; Маккей, А. Л. (декабрь 1994 г.). «Отрицательно искривленный графит и трипериодические минимальные поверхности». Журнал математической химии. 15 (1): 183–195. Дои:10.1007 / BF01277558.

[8] W. H. Meeks. Теория трипериодических минимальных поверхностей. Математика Университета Индианы. Журнал, 39 (3): 877-936, 1990.

[9] «Трехпериодические ровные поверхности». В архиве из оригинала на 2019-02-12. Получено 2019-02-10.

[10] Джэмин Шин, Сонки Ким, Дараэ Чжон, Хён Гын Ли, Донгсун Ли, Чжун Ён Лим и Чжунсок Ким, Анализ методом конечных элементов геометрии пор поверхности Schwarz P для тканевых каркасов, Математические проблемы в инженерии, том 2012, ID статьи 694194 , DOI: 10.1155 / 2012/694194

[11] Пол Дж. Ф. Ганди, Джурдже Цвийович, Алан Л. Маккей, Яцек Клиновски, Точное вычисление трехпериодической D ("алмазной") минимальной поверхности, Chemical Physics Letters, Volume 314, Issues 5–6, 10 декабря 1999, страницы 543–551

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]