Ассоциированная семья - Associate family

Анимация, показывающая деформацию геликоида в катеноид как θ изменения.

В дифференциальная геометрия, то ассоциированная семья (или же Капот семья) минимальная поверхность является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, имеющих одинаковые Данные Вейерштрасса. То есть, если поверхность имеет представление

{ displaystyle x_ {k} ( zeta) = Re left { int _ {0} ^ { zeta} varphi _ {k} (z) , dz right } + c_ {k} , qquad k = 1,2,3}

семья описана

{ displaystyle x_ {k} ( zeta, theta) = Re left {e ^ {i theta} int _ {0} ^ { zeta} varphi _ {k} (z) , dz right } + c_ {k}, qquad theta in [0,2 pi]}

За θ = π/ 2 поверхность называется сопряженной θ = 0 поверхность.^[1]

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение главная кривизна направления. Нормали поверхности точки с фиксированным ζ остается неизменным, поскольку θ изменения; сама точка движется по эллипсу.

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: катеноид и геликоид семья, Schwarz P, Schwarz D и гироид семья и Первая и вторая поверхность Шерка семья. В Эннепер поверхность сопряжена сама с собой: она остается инвариантной как θ изменения.

Сопряженные поверхности обладают тем свойством, что любая прямая линия на поверхности отображается в плоскую геодезическую на сопряженной поверхности и наоборот. Если фрагмент одной поверхности ограничен прямой линией, то сопряженный фрагмент ограничен плоской линией симметрии. Это полезно для построения минимальных поверхностей путем перехода в сопряженное пространство: привязка плоскостями эквивалентна привязке многоугольником.^[2]

Есть аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в многомерных пространствах и многообразиях.^[3]

Рекомендации

^ Маттиас Вебер, Классические минимальные поверхности в евклидовом пространстве на примерах, в Глобальной теории минимальных поверхностей: Труды Института математики Клея, 2001 г., Летняя школа Института математических наук, Беркли, Калифорния, 25 июня - 27 июля 2001 г. American Mathematical Soc. , 2005 г. [1]
^ Герман Кархер, Конрад Польтье, "Построение трехпериодических минимальных поверхностей", Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А 16 сентября 1996 г. 354 нет. 1715 2077–2104 [2]
^ Ж.-Х. Эшенбург, Ассоциированная семья, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3]

[1] Маттиас Вебер, Классические минимальные поверхности в евклидовом пространстве на примерах, в Глобальной теории минимальных поверхностей: Труды Института математики Клея, 2001 г., Летняя школа Института математических наук, Беркли, Калифорния, 25 июня - 27 июля 2001 г. American Mathematical Soc. , 2005 г. [1]

[2] Герман Кархер, Конрад Польтье, "Построение трехпериодических минимальных поверхностей", Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А 16 сентября 1996 г. 354 нет. 1715 2077–2104 [2]

[3] Ж.-Х. Эшенбург, Ассоциированная семья, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3]

[1]

[2]

[3]