Уравнение Юнга – Лапласа - Википедия - Young–Laplace equation

Оптические тензиометры используют уравнение Юнга-Лапласа для автоматического определения поверхностного натяжения жидкости на основе формы висячей капли.

В физика, то Уравнение Юнга – Лапласа (/лəˈплɑːs/) это нелинейный уравнение в частных производных это описывает капиллярное давление разница между двумя статические жидкости, Такие как воды и воздуха, из-за явления поверхностное натяжение или же натяжение стены, хотя использование последнего применимо только при условии, что стена очень тонкая. Уравнение Юнга – Лапласа связывает разность давлений с формой поверхности или стенки, и это фундаментально важно при изучении статического электричества. капиллярные поверхности. Это заявление нормальный стресс баланс для статических жидкостей, встречающихся на границе раздела, где интерфейс рассматривается как поверхность (нулевая толщина):

${ displaystyle { begin {align} Delta p & = - gamma nabla cdot { hat {n}} & = - gamma H_ {f} & = - gamma left ({ frac {1} {R_ {1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} right) end {align}}}$

куда ${ displaystyle Delta p}$ это Давление Лапласа, перепад давления на границе раздела текучей среды (внешнее давление минус внутреннее давление), ${ displaystyle gamma}$ это поверхностное натяжение (или же натяжение стены ), ${ Displaystyle { шляпа {п}}}$ нормаль, указывающая на поверхность, ${ displaystyle H_ {f}}$ это средняя кривизна (определено в разделе «Средняя кривизна в механике жидкости»), и ${ displaystyle R_ {1}}$ и ${ displaystyle R_ {2}}$ являются главными радиусы кривизны. Обратите внимание, что рассматривается только нормальное напряжение, потому что это было показано^[1] что статический интерфейс возможен только при отсутствии касательного напряжения.

Уравнение названо в честь Томас Янг, который в 1805 г. разработал качественную теорию поверхностного натяжения, и Пьер-Симон Лаплас который завершил математическое описание в следующем году. Иногда его также называют уравнением Юнга – Лапласа – Гаусса, поскольку Карл Фридрих Гаусс объединил работы Янга и Лапласа в 1830 году, выведя как дифференциальное уравнение, так и граничные условия, используя Иоганн Бернулли с виртуальная работа принципы.^[2]

Мыльные пленки

Если разность давлений равна нулю, как в мыльной пленке без гравитации, граница раздела примет форму минимальная поверхность.

Эмульсии

Уравнение также объясняет энергию, необходимую для создания эмульсия. Чтобы сформировать маленькие, сильно изогнутые капли эмульсии, требуется дополнительная энергия для преодоления большого давления, возникающего из-за их малого радиуса.

Давление Лапласа, которое больше для более мелких капель, вызывает диффузию молекул из мельчайших капель эмульсии и вызывает укрупнение эмульсии за счет Оствальдское созревание.^{[нужна цитата ]}

Капиллярное давление в трубке

Сферический мениск с углом смачивания менее 90 °

В достаточно узком (т.е. низком Номер облигации ) труба круглого сечения (радиус а) граница раздела двух жидкостей образует мениск то есть часть поверхности сферы радиуса р. Скачок давления на этой поверхности связан с радиусом и поверхностным натяжением γ соотношением

${ displaystyle Delta p = { frac {2 gamma} {R}}.}$

Это можно показать, записав уравнение Юнга – Лапласа в сферической форме с угол контакта граничное условие, а также заданное граничное условие по высоте, например, на дне мениска. Решение - это часть сферы, и решение будет существовать Только для разницы давлений, указанной выше. Это важно, потому что нет другого уравнения или закона для определения разности давлений; существование раствора для одного конкретного значения перепада давления предписывает это.

Радиус сферы будет зависеть только от угол контакта, θ, который, в свою очередь, зависит от точных свойств жидкостей и материала контейнера, с которым данные жидкости контактируют / взаимодействуют:

${ displaystyle R = { frac {a} { cos theta}}}$

так что перепад давления может быть записан как:

${ displaystyle Delta p = { frac {2 gamma cos theta} {a}}.}$

Иллюстрация капиллярного подъема. Красный = угол контакта менее 90 °; синий = угол контакта больше 90 °

Для того, чтобы поддерживать гидростатическое равновесие индуцированная капиллярное давление уравновешивается изменением высоты, час, который может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, меньше или больше угол смачивания 90 °. Для жидкости плотность ρ:

${ displaystyle h = { frac {2 gamma cos theta} { rho ga}}.}$

- куда грамм это гравитационное ускорение. Иногда это называют Закон Журина или же Высота Журина^[3] после Джеймс Джурин который изучал эффект в 1718 г.^[4]

Для стеклянной трубки, наполненной водой, в воздуха в уровень моря:

- и поэтому высота водяного столба определяется по формуле:

${ displaystyle h приблизительно {{1,4 times 10 ^ {- 5}} over a}}$ м.

Таким образом, для трубы шириной 2 мм (радиусом 1 мм) вода поднимется на 14 мм. Однако для капиллярной трубки радиусом 0,1 мм вода поднимется на 14 см (около 6 дюймы ).

Капиллярное действие в целом

В общем случае для свободная поверхность и при наличии приложенного «избыточного давления» Δп, на границе раздела в равновесии существует баланс между приложенным давлением, гидростатическое давление и эффекты поверхностного натяжения. В Янг – Лаплас уравнение становится:

${ displaystyle Delta p = rho gh- gamma left ({ frac {1} {R_ {1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} right)}$

Уравнение может быть безразмерный с точки зрения характерного размера длина капилляра:

${ displaystyle L_ {c} = { sqrt { frac { gamma} { rho g}}},}$

- и характеристическое давление:

${ displaystyle p_ {c} = { frac { gamma} {L_ {c}}} = { sqrt { gamma rho g}}.}$

Для чистой воды при стандартная температура и давление, то длина капилляра ~ 2 мм.

Тогда безразмерное уравнение становится:

${ displaystyle h ^ {*} - Delta p ^ {*} = left ({ frac {1} {{R_ {1}} ^ {*}}} + { frac {1} {{R_ { 2}} ^ {*}}} right).}$

Таким образом, форма поверхности определяется только одним параметром - избыточным давлением жидкости Δп^* а масштаб поверхности задается длина капилляра. Решение уравнения требует начального условия для положения и уклона поверхности в начальной точке.

Висячая капля образуется при избыточном давлении Δp^*= 3 и начальное условие р₀=10⁻⁴, z₀=0, дз/доктор=0

Жидкий мостик изготавливается для избыточного давления Δp^*= 3.5 и начальное условие р₀=0.25⁻⁴, z₀=0, дз/доктор=0

Осесимметричные уравнения

(Безразмерная) форма, р(z) из осесимметричный поверхность можно найти, подставив общие выражения для кривизна дать гидростатический Уравнения Юнга – Лапласа:^[5]

${ displaystyle { frac {r ''} {(1 + r '^ {2}) ^ { frac {3} {2}}}} - { frac {1} {r (z) { sqrt {1 + r '^ {2}}}}} = z- Delta p ^ {*}}$

${ displaystyle { frac {z ''} {(1 + z '^ {2}) ^ { frac {3} {2}}}} + { frac {z'} {r (1 + z ' ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} = Delta p ^ {*} - z (r).}$

Применение в медицине

В лекарство его часто называют Закон Лапласа, используется в контексте сердечно-сосудистая физиология,^[6] а также респираторная физиология, хотя последнее использование часто бывает ошибочным.^[7]

История

Фрэнсис Хоксби провел некоторые из самых ранних наблюдений и экспериментов в 1709 г.^[8] и они были повторены в 1718 г. Джеймс Джурин кто заметил, что высота жидкости в капиллярной колонке зависит только от площади поперечного сечения на поверхности, а не от любых других размеров колонки.^[4][9]

Томас Янг заложил основы уравнения в своей статье 1804 г. Эссе о сцеплении жидкостей^[10] где он описал принципы, регулирующие контакт между жидкостями (наряду со многими другими аспектами поведения жидкости). Пьер Симон Лаплас следил за этим в Mécanique Céleste^[11] с формальным математическим описанием, приведенным выше, которое воспроизводит в символических терминах отношения, описанные ранее Янгом.

Лаплас принял идею, предложенную Хоксби в его книге. Физико-механические эксперименты (1709), что это явление произошло из-за силы притяжения, незаметной на ощутимых расстояниях.^[12][13] Часть, которая касается действия твердый на жидкость и взаимное действие двух жидкостей до конца не проработано, но в конечном итоге было завершено Карл Фридрих Гаусс.^[14] Франц Эрнст Нойман (1798-1895) позже внес несколько деталей.^[15][9][16]

Рекомендации

Библиография

• Максвелл, Джеймс Клерк; Стратт, Джон Уильям (1911). "Капиллярное действие". В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия. 5 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 256–275.
• Бэтчелор, Г. К. (1967) Введение в динамику жидкости, Издательство Кембриджского университета
• Юрин, Дж. (1716). «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъема и суспендирования воды в капиллярных трубках». Философские труды Королевского общества. 30 (351–363): 739–747. Дои:10.1098 / рстл.1717.0026. S2CID  186211806.
• Тадрос Т. Ф. (1995) Поверхностно-активные вещества в агрохимикатах, Серия Surfactant Science, том 54, Dekker

внешняя ссылка

Измерение поверхностного натяжения с помощью уравнения Юнга-Лапласа