Равномерная абсолютная сходимость - Википедия - Uniform absolute-convergence

В математика, равномерная абсолютная сходимость это тип конвергенция за серии из функции. Нравиться абсолютная конвергенция, он имеет то полезное свойство, что сохраняется при изменении порядка суммирования.

Мотивация

Сходящийся ряд чисел часто можно переупорядочить так, чтобы новый ряд расходился. Однако это невозможно для серий неотрицательных чисел, поэтому понятие абсолютная сходимость исключает это явление. При работе с равномерно сходящийся Для ряда функций происходит то же явление: ряды потенциально могут быть переупорядочены в неравномерно сходящийся ряд или ряд, который даже не сходится поточечно. Это невозможно для рядов неотрицательных функций, поэтому можно использовать понятие равномерной абсолютной сходимости, чтобы исключить эти возможности.

Определение

Учитывая набор Икс и функции ${ displaystyle f_ {n}: X to mathbb {C}}$ (или любому нормированное векторное пространство ), сериал

{ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} е_ {п} (х)}

называется равномерно абсолютно сходящийся если ряд неотрицательных функций

{ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} | е_ {п} (х) |}

сходится равномерно.^[1]

Отличия

Ряд может сходиться равномерно и абсолютно сходится, не будучи равномерно абсолютно сходящимся. Например, если ƒ_п(Икс) = Икс^п/п на открытом интервале (−1,0), то ряд Σж_п(Икс) сходится равномерно при сравнении частичных сумм с суммами Σ (−1)^п/п, а ряд Σ |ж_п(Икс) | сходится абсолютно в каждой точке тестом геометрической серии, но Σ |ж_п(Икс) | не сходится равномерно. Интуитивно это связано с тем, что абсолютная сходимость становится все медленнее и медленнее по мере того, как Икс приближается к −1, где сходимость имеет место, но абсолютная сходимость не работает.

Обобщения

Если ряд функций равномерно абсолютно сходится в некоторой окрестности каждой точки топологического пространства, то это локально равномерно абсолютно сходящийся. Если ряд равномерно абсолютно сходится на всех компактных подмножествах топологического пространства, то он компактно (равномерно) абсолютно сходится. Если топологическое пространство локально компактный, эти понятия эквивалентны.

Характеристики

Если ряд функций в C (или любой Банахово пространство ) равномерно абсолютно сходится, то равномерно сходится.
Равномерная абсолютная сходимость не зависит от порядка ряда. Это связано с тем, что для ряда неотрицательных функций равномерная сходимость эквивалентна тому свойству, что для любого ε> 0 существует конечное число членов ряда, так что исключение этих членов приводит к ряду с общей суммой, меньшей, чем константа функция ε, и это свойство не относится к упорядочению.

Смотрите также

Способы сходимости (аннотированный указатель)