Равномерно ограниченное представление - Uniformly bounded representation

В математике равномерно ограниченное представление ${ displaystyle T}$ из локально компактная группа ${ displaystyle G}$ на Гильбертово пространство ${ displaystyle H}$ это гомоморфизм в ограниченные обратимые операторы, непрерывные для сильная операторная топология, и такой, что ${ Displaystyle sup _ {г в G} | T_ {g} | _ {B (H)}}$ конечно. В 1947 г. Béla Szkefalvi-Nagy установлено, что любое равномерно ограниченное представление целых или действительных чисел унитаризуемый, т.е. сопряженные обратимым оператором унитарное представительство. Для целых чисел это дает критерий сходства обратимого оператора с унитарным: операторские нормы всех положительных и отрицательных степеней должны быть равномерно ограничены. Результат об унитаризуемости равномерно ограниченных представлений был расширен в 1950 г. Диксмье, Дай и Накамура-Такеда для всех локально компактных приемлемые группы, следуя по существу методу доказательства Ш-Надя. Известно, что результат неверен для неаменабельных групп, таких как SL (2,р) и свободная группа на двух образующих. Диксмье (1950) предположил, что локально компактная группа аменабельна тогда и только тогда, когда любое равномерно ограниченное представление унитаризуемо.

Заявление

Позволять грамм быть локально компактным податливая группа и разреши Т_грамм быть гомоморфизмом грамм в GL(ЧАС), группа обратимых операторов в гильбертовом пространстве таких, что

• для каждого Икс в ЧАС векторнозначный gx на грамм непрерывно;
• операторные нормы операторов Т_грамм равномерно ограничены.

Тогда существует положительный обратимый оператор S на ЧАС такой, что S Т_грамм S⁻¹ унитарен для каждого грамм в грамм.

Как следствие, если Т является обратимым оператором со всеми его положительными и отрицательными степенями, равномерно ограниченными по операторной норме, то Т положительно обратимый оператор сопряжен с унитарным.

Доказательство

По предположению непрерывные функции

${ displaystyle displaystyle {f_ {x, y} (g) = (T_ {g} ^ {- 1} x, T_ {g} ^ {- 1} y),}}$

порождают отделимую унитальную подалгебру C * А равномерно ограниченных непрерывных функций на грамм. По построению алгебра инвариантна относительно левого сдвига. По аменабельности существует инвариантное состояние φ на А. Следует, что

${ displaystyle displaystyle {(x, y) _ {0} = varphi (f_ {x, y})}}$

это новый внутренний продукт на ЧАС удовлетворение

${ displaystyle displaystyle {M ^ {- 1} | x | leq | x | _ {0} leq M | x |}}$

куда

${ displaystyle displaystyle {M = sup _ {g} | T_ {g} | < infty.}}$

Итак, существует положительный обратимый оператор п такой, что

${ displaystyle displaystyle {(x, y) _ {0} = (Px, y).}}$

По конструкции

${ displaystyle displaystyle {(T_ {g} x, T_ {g} y) _ {0} = (x, y) _ {0}.}}$

Позволять S - единственный положительный квадратный корень из п. потом

${ displaystyle displaystyle {(ST_ {g} x, ST_ {g} y) = (PT_ {g} x, T_ {g} y) = (Px, y) = (Sx, Sy).}}$

Применение S⁻¹ к Икс и у, следует, что

${ displaystyle displaystyle {(ST_ {g} S ^ {- 1} x, ST_ {g} S ^ {- 1} y) = (x, y).}}$

Поскольку операторы

${ Displaystyle Displaystyle {U_ {g} = ST_ {g} S ^ {- 1}}}$

обратимы, значит, они унитарны.

Примеры неунтаризуемых представлений

SL (2, R)

В дополнительный ряд неприводимых унитарных представлений SL (2, R) было введено Баргманн (1947). Эти представления могут быть реализованы на функциях на окружности или на вещественной прямой: преобразование Кэли обеспечивает унитарную эквивалентность между двумя реализациями.^[1]

Фактически при 0 <σ <1/2 и ж, грамм непрерывные функции на окружности определяют

${ displaystyle displaystyle {(f, g) _ { sigma} = {1 over 4 pi ^ {2}} int _ {- pi} ^ { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (s) { overline {g (t)}} k _ { sigma} (st) , ds , dt,}}$

куда

${ displaystyle displaystyle {k _ { sigma} (s) = (1- cos s) ^ { sigma -1/2}.}}$

Поскольку функция k_σ интегрируем, этот интеграл сходится. Фактически

${ displaystyle displaystyle {(е, g) _ { sigma} leq | f | cdot | g |,}}$

где нормы - обычные L² норм.

Функции

${ Displaystyle Displaystyle {е_ {м} (т) = е ^ {имт}}}$

ортогональны

${ displaystyle displaystyle {(f_ {m}, f_ {m}) _ { sigma} = prod _ {i = 1} ^ {| m |} {i-1 / 2- sigma over i- 1/2 + sigma} = { Gamma (1/2 + sigma) Gamma (| m | + 1 / 2- sigma) over Gamma (1 / 2- sigma) Gamma (m + 1/2 + sigma)}.}}$

Поскольку эти величины положительны, (ж,грамм)_σ определяет внутренний продукт. Пополнение гильбертова пространства обозначается через ЧАС_σ.

За F, грамм непрерывные функции компактной опоры на р, определять

${ displaystyle displaystyle {(F, G) _ { sigma} ^ { prime} = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} F ( x) { overline {G (y)}} | xy | ^ {2 sigma -1} , dx , dy.}}$

Поскольку, рассматриваемые как распределения, преобразование Фурье |Икс|^{2σ - 1} это C_σ|т|^−2σ для некоторой положительной постоянной C_σ, приведенное выше выражение можно переписать:

${ Displaystyle Displaystyle {(F, G) _ { sigma} ^ { prime} = C _ { sigma} int _ {- infty} ^ { infty} { widehat {F}} (т) { overline {{ widehat {G}} (t)}} | t | ^ {- 2 sigma} , dt.}}$

Следовательно, это внутренний продукт. Позволять ЧАС'_σ обозначим его пополнение в гильбертовом пространстве.

Преобразование Кэли приводит к оператору U:

${ displaystyle displaystyle {Uf (x) = 2 ^ { sigma / 2-3 / 4} pi ^ {- 1} | x + i | ^ {1-2 sigma} f left ({xi над x + i} right).}}$

U распространяется на изометрию ЧАС_σ на ЧАС '_σ. К нему присоединяется

${ displaystyle displaystyle {U ^ {*} F (e ^ {it}) = 2 ^ {3 / 4- sigma / 2} pi | 1-e ^ {it} | ^ {1-2 sigma } F left ({1 + e ^ {it} over 1-e ^ {it}} right).}}$

Преобразование Кэли обменивает действия на Преобразования Мебиуса из SU (1,1) на S¹ и SL (2, р) на р.

Оператор U переплетаются соответствующие действия SU (1,1) на ЧАС_σ и SL (2,р) на ЧАС '_σ.

За грамм в SU (1,1):

${ displaystyle displaystyle {g = { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}},}}$

с

${ Displaystyle Displaystyle {| альфа | ^ {2} - | бета | ^ {2} = 1,}}$

и ж непрерывный, набор

${ displaystyle displaystyle { pi _ { sigma} (g ^ {- 1}) f (z) = | { overline { beta}} z + { overline { alpha}} | ^ {1-2 sigma} f left ({ alpha z + beta over { overline { beta}} z + { overline { alpha}}} right).}}$

За грамм' в SL (2,р) предоставлено

${ displaystyle displaystyle {g ^ { prime} = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}},}}$

с объявление – до н.э = 1, установить

${ displaystyle displaystyle { pi _ { sigma} ^ { prime} ((g ^ { prime}) ^ {- 1}) F (x) = | cx + d | ^ {1-2 sigma } F left ({ax + b over cx + d} right).}}$

Если грамм ' соответствует грамм при преобразовании Кэли тогда

${ displaystyle displaystyle {U pi _ { sigma} (g) U ^ {*} = pi _ { sigma} ^ { prime} (g ^ { prime}).}}$

Полярное разложение показывает, что SL (2, R) = КАК с K = SO (2) и А подгруппа положительных диагональных матриц. K соответствует диагональным матрицам в SU (1,1). Поскольку очевидно K действует унитарно ЧАС_σ и А действует унитарно ЧАС '_σ, оба представления унитарны. Представления неприводимы, поскольку действие алгебры Ли на базисные векторы ж_м неприводимо. Это семейство неприводимых унитарных представлений называется дополнительная серия.

Эренпрейс и Маутнер (1955) построил аналитическое продолжение этого семейства представлений следующим образом.^[2] Если s = σ + iτ, g лежит в SU (1,1) и ж в ЧАС_σ, определять

${ displaystyle displaystyle { pi _ {s} (g ^ {- 1}) f (z) = | { overline { beta}} z + { overline { alpha}} | ^ {1-2s} f left ({ alpha z + beta over { overline { beta}} z + { overline { alpha}}} right).}}$

Аналогично, если грамм 'лежит в SL (2,р) и F в ЧАС '_σ, определять

${ displaystyle displaystyle { pi _ {s} ^ { prime} ((g ^ { prime}) ^ {- 1}) F (x) = | cx + d | ^ {1-2s} F left ({ax + b over cx + d} right).}}$

Как и раньше унитарный U переплетаются эти два действия. K действует унитарно ЧАС_σ и А равномерно ограниченным представлением на ЧАС '_σ. Действие стандартного базиса алгебры Ли комплексификации на этом базисе можно вычислить:^[3]

${ displaystyle displaystyle { pi _ {s} (L_ {0}) f_ {m} = mf_ {m}, , , pi _ {s} (L _ {- 1}) f_ {m} = - (m + 1/2 + s) f_ {m + 1}, , , pi _ {s} (L_ {1}) f_ {m} = - (m-1/2-s) f_ { м-1}.}}$

Если бы представление было унитаризуемым при τ ≠ 0, то оператор подобия Т на ЧАС_σ пришлось бы ездить с K, поскольку K сохраняет исходный внутренний продукт. Векторы Tf_м поэтому все равно будет ортогональным для нового внутреннего продукта и операторов

${ displaystyle displaystyle {L_ {i} ^ { prime} = TL_ {i} T ^ {- 1}}}$

удовлетворял бы тем же соотношениям для

${ displaystyle displaystyle {f_ {m} ^ { prime} = Tf_ {m} = lambda _ {m} f_ {m}.}}$

В этом случае

${ displaystyle displaystyle {[L_ {m} ^ { prime}, L_ {n} ^ { prime}] = (mn) L_ {m + n} ^ { prime}, , , (L_ { i} ^ { prime}) ^ {*} = L _ {- i} ^ { prime}.}}$

Элементарно проверить, что такое представление бесконечно мало может существовать, если τ ≠ 0.^[4]

Действительно, пусть v₀ = ж '₀ и установить

${ displaystyle displaystyle {v_ {1} = L _ {- 1} ^ { prime} v_ {0}.}}$

потом

${ displaystyle displaystyle {L_ {1} ^ { prime} v_ {1} = cv_ {0}}}$

для некоторой постоянной c. С другой стороны,

${ Displaystyle Displaystyle { | v_ {1} | ^ {2} = (L _ {- 1} ^ { prime} v_ {0}, v_ {1}) = (v_ {0}, L_ {1 } ^ { prime} v_ {1}) = { overline {c}} | v_ {0} | ^ {2}.}}$

Таким образом c должен быть реальным и позитивным. Приведенные выше формулы показывают, что

${ displaystyle displaystyle {c = {1 over 4} -s ^ {2} = {1 over 4} - sigma ^ {2} + tau ^ {2} -2i sigma tau,}}$

поэтому представление π_s унитаризуема, только если τ = 0.

Бесплатная группа на двух генераторах

Группа грамм = SL (2,р) содержит дискретную группу Γ = SL (2,Z) как замкнутая подгруппа конечного коволюма, так как эта подгруппа действует на верхней полуплоскости с фундаментальной областью конечной гиперболической площади.^[5] Группа SL (2,Z) содержит подгруппу индекса 12, изоморфную F₂ свободная группа на двух образующих.^[6] Следовательно грамм имеет подгруппу Γ₁ конечного коволюма, изоморфного F₂. Если L - замкнутая подгруппа конечного коволюма в локально компактной группе грамм, а π - неунтаризуемое равномерно ограниченное представление грамм в гильбертовом пространстве L, то его ограничение на L равномерно ограничен и неуннаризуем. В противном случае, применяя ограниченный обратимый оператор, скалярное произведение можно сделать инвариантным относительно L; а затем, в свою очередь, инвариантный относительно грамм путем переопределения

${ displaystyle displaystyle {(x, y) _ {1} = int _ {H backslash G} (gx, gy) , dg.}}$

Как и в предыдущем доказательстве, uniform boundedess гарантирует, что норма, определенная этим внутренним продуктом, эквивалентна исходному внутреннему продукту. Но тогда исходное представление было бы унитаризуемым на грамм, противоречие. Тот же аргумент работает для любой дискретной подгруппы грамм конечного коволюма. В частности поверхностные группы, которые являются кокомпактными подгруппами, имеют равномерно ограниченные представления, не унитаризуемые.

Существуют более прямые конструкции неуннаризуемых равномерно ограниченных представлений свободных групп: они рассматриваются в Пизье (2001). Первые такие примеры описаны в Фига-Таламанка и Пикарделло (1983), где построен аналог дополнительного ряда.

Потом Шварц (1988) дал родственную, но более простую конструкцию на гильбертовом пространстве ЧАС = ${ displaystyle ell}$²(F₂) голоморфного семейства равномерно ограниченных представлений π_z из F₂ для | z | <1; они неунитаризуемы, когда 1 / √3 <|z| <1 и z не реально. Позволять L(грамм) обозначают уменьшенную длину слова на F₂ для заданного набора генераторов а, б. Позволять Т - ограниченный оператор, определенный на базисных элементах формулой

${ displaystyle displaystyle {Te_ {1} = 0, , , Te_ {g} = e_ {g ^ { prime}},}}$

куда грамм 'получается стиранием последней буквы в выражении грамм как сокращенное слово; идентификация F₂ с вершинами его Граф Кэли укоренившееся дерево,^[7] это соответствует переходу от вершины к следующей вершине, ближайшей к началу координат или корню. Для | z | <1

${ displaystyle displaystyle { pi _ {z} (g) = (I-zT) ^ {- 1} lambda (g) (I-zT)}}$

корректно определена на функциях с конечным носителем. Пытлик и Шварц (1986) ранее доказал, что он продолжается до равномерно ограниченного представления на ЧАС удовлетворение

${ displaystyle displaystyle { | pi _ {z} (g) | leq {1+ | z | более 1- | z |}.}}$

На самом деле легко проверить, что оператор λ (грамм)Тλ (грамм)⁻¹ – Т имеет конечный ранг, с диапазономV_грамм, конечномерное пространство функций с носителями на множестве вершин, соединяющих грамм к происхождению. Для любой функции, исчезающей на этом конечном множестве, Т и λ (грамм)Тλ (грамм)⁻¹ равны; и они оба оставляют неизменными V_грамм, на котором они действуют как сокращения и присоединяются друг к другу. Следовательно, если ж имеет конечный носитель и норму 1,

${ displaystyle displaystyle { | pi _ {z} (g) f | = | lambda (g) f + sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n + 1} T ^ {n} [T, lambda (g)] f | leq 1 + 2 sum _ {n = 0} ^ {n} | z | ^ {n + 1} = {1+ | z | более 1- | z |}.}}$

Для | z | <1 / √3, все эти представления аналогичны регулярному представлению λ. Если, с другой стороны, 1 / √3 <| z | <1, то оператор

${ displaystyle displaystyle {D = pi _ {z} (a) + pi _ {z} (a ^ {- 1}) + pi _ {z} (b) + pi _ {z} ( b ^ {- 1})}}$

удовлетворяет

${ displaystyle displaystyle {Df = (3z + z ^ {- 1}) f}}$

куда ж в ЧАС определяется

${ Displaystyle Displaystyle {е (1) = 1, , , е (г) = {3 более 4} (3z) ^ {- L (г)} , , (г neq 1). }}$

Таким образом, если z не реально, D имеет собственное значение, которое не является действительным. Но тогда π_z не может быть унитаризируемым, так как иначе D был бы похож на самосопряженный оператор.

Проблема Диксмье

Жак Диксмье спросил в 1950 г., характеризуются ли поддающиеся группы унитаризуемость, т.е. свойство унитаризуемости всех их равномерно ограниченных представлений. Эта проблема остается открытой по сей день.

Элементарный индукция Аргумент показывает, что подгруппа унитаризуемой группы остается унитаризуемой. Следовательно гипотеза фон Неймана означало бы положительный ответ на проблему Диксмье, если бы это было правдой. В любом случае отсюда следует, что контрпримером к гипотезе Диксмье может быть только неаменабельная группа без свободных подгрупп. В частности, гипотеза Диксмье верна для всех линейные группы посредством Альтернатива сисек.

Критерий Эпштейна и Monod показывает, что существуют также неуннаризуемые группы без свободных подгрупп. На самом деле даже некоторые Группы Бернсайда неунитаризуемы, как показали Монод и Одзава.

Значительный прогресс был достигнут Пизье который связал унитаризуемость с понятием длины факторизации. Это позволило ему решить модифицированную форму проблемы Диксмье.

Потенциальный разрыв между унитаризуемостью и аменабельностью можно дополнительно проиллюстрировать следующими открытыми проблемами, каждая из которых станет элементарной, если «унитаризуемость» будет заменена на «аменабельность»:

• Это прямой продукт двух унитаризуемых групп унитаризуемых?
• Унитаризуемо ли направленное объединение унитаризуемых групп?
• Если ${ displaystyle G}$ содержит нормальную аменабельную подгруппу ${ displaystyle N}$ такой ${ Displaystyle G / N}$ унитаризуема, следует ли, что ${ displaystyle G}$ унитаризуемо? (Элементарно, что ${ displaystyle G}$ унитаризуема, если ${ displaystyle N}$ это так и ${ Displaystyle G / N}$ поддается.)

Примечания

Рекомендации

• С-Надь, Бела (1947), «О равномерно ограниченных линейных преобразованиях в гильбертовом пространстве», Acta Univ. Сегед. Разд. Sci. Математика., 11: 152–157
• Диксмье, Жак (1950), "Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs applications", Acta Sci. Математика. Сегед, 12: 213–227
• Дэй, Махлон М. (1950), "Средства для ограниченных функций и эргодичность ограниченных представлений полугрупп", Пер. Амер. Математика. Soc., 69 (2): 276–291, Дои:10.1090 / с0002-9947-1950-0044031-5, JSTOR  1990358
• Эпштейн, Инесса; Моно, Николас (2009), "Неунитарные представления и случайные леса", IMRN, 2009:22: 4336–4353, arXiv:0811.3422, Дои:10.1093 / imrn / rnp090
• Накамура, Масахиро; Такеда, Зиро (1951), "Групповое представление и предел Банаха", Математический журнал Тохоку, 3 (2): 132–135, Дои:10.2748 / tmj / 1178245513
• Пизье, Жиль (2001), Проблемы подобия и вполне ограниченные отображения, Конспект лекций по математике, 1618 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3540415244
• Пизье, Жиль (2005), Поддаются ли унитаризуемые группы?, Успехи в математике, 248, стр. 323–362, arXiv:математика / 0405282, Bibcode:2004математика ...... 5282P
• Ehrenpreis, L .; Маутнер, Ф. И. (1955), "Равномерно ограниченные представления групп", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 41 (4): 231–233, Bibcode:1955ПНАС ... 41..231Э, Дои:10.1073 / pnas.41.4.231, ЧВК  528064, PMID  16589653
• Лохуэ, Н. (1980), "Оценки L^п des coefficients de représentation et opérateurs de convolution ", Adv. Математика., 38 (2): 178–221, Дои:10.1016/0001-8708(80)90004-3
• Моно, Николя; Одзава, Нарутака (2010), "Проблема Диксмье, фонарщики и группы Бернсайда", Журнал функционального анализа, 258: 255–259, arXiv:0902.4585, Дои:10.1016 / j.jfa.2009.06.029
• Баргманн, В. (1947), "Неприводимые унитарные представления группы Лоренца", Анна. математики., 48 (3): 568–640, Дои:10.2307/1969129, JSTOR  1969129
• Сугиура, Мицуо (1990), Унитарные представления и гармонический анализ: введение, Математическая библиотека Северной Голландии, 44 (2-е изд.), Elsevier, ISBN  978-0444885937
• Хау, Роджер; Тан, Энг-чье (1992), Неабелев гармонический анализ: приложения SL (2,р), Universitext, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97768-3
• Ланг, Серж (1985), SL (2,р), Тексты для выпускников по математике, 105, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96198-9
• Серр, Жан-Пьер (1977), Cours d'arithmétique, Le Mathématicien, 2 (2-е изд.), Presses Universitaires de France
• Гельфанд, И. М .; Граев, М. И .; Пятецкий-Шапиро И. И. (1969), Теория представлений и автоморфные функции, Academic Press, ISBN  978-0-12-279506-0
• Серр, Жан-Пьер (1977), Arbres, amalgames, SL₂, Astérisque, 46, Société Mathématique de France
• Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитэр, Дональд (1976), Комбинаторная теория групп. Представления групп в терминах генераторов и отношений (2-е изд.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-43830-6
• Фига-Таламанка, Алессандро; Пикарделло, Массимо А. (1983), Гармонический анализ на свободных группах, Конспект лекций по чистой и прикладной математике, 87, Марсель Деккер
• Пытлик, Т .; Szwarc, R. (1986), "Аналитическое семейство равномерно ограниченных представлений свободных групп", Acta Math., 157: 287–309, Дои:10.1007 / bf02392596
• Шварц, Рышард (1988), «Аналитическая серия неприводимых представлений свободной группы» (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 38: 87–110, Дои:10.5802 / aif.1124