Универсальные фонды - Википедия - Univalent foundations

Универсальные основы являются подходом к основы математики в котором математические структуры построены из объектов, называемых типы. Типы в однолистных основаниях не соответствуют в точности чему-либо в теоретико-множественных основаниях, но их можно рассматривать как пространства с равными типами, соответствующими гомотопически эквивалентным пространствам, и с равными элементами типа, соответствующими точкам пространства, соединенного путем. . Основы Univalent вдохновлены как старыми Платонический идеи Герман Грассманн и Георг Кантор и по "категоричный «математика в стиле Александр Гротендик. Универсальные основы отходят от использования классических логика предикатов как лежащую в основе формальную систему дедукции, заменив ее, на данный момент, версией Теория типа Мартина-Лёфа. Развитие унивалентных основ тесно связано с развитием теория гомотопического типа.

Универсальные основы совместимы с структурализм, если принято соответствующее (то есть категориальное) понятие математической структуры.[1]

История

Основные идеи одновалентных основ были сформулированы Владимир Воеводский в период с 2006 по 2009 год. Единственным справочником о философских связях между однолистными основами и более ранними идеями являются лекции Воеводского на Бернейсе 2014 года.[2] Название «однолистность» принадлежит Воеводскому.[3] Более подробное обсуждение истории некоторых идей, которые способствуют текущему состоянию однолистных фондов, можно найти на странице на теория гомотопического типа.

Фундаментальной характеристикой однолистных основ является то, что они - в сочетании с Теория типа Мартина-Лёфа - предоставить практическую систему формализации современной математики. С помощью этой системы и современных помощников по доказательству, таких как Coq и Агда. Первую такую ​​библиотеку под названием «Фонды» создал Владимир Воеводский в 2010 году.[4] Теперь Foundation является частью более крупной разработки с несколькими авторами, названными UniMath.[5] Фонды также вдохновили другие библиотеки формализованной математики, такие как HoTT Библиотека Coq[6] и библиотека HoTT Agda,[7] которые развили однозначные идеи в новых направлениях.

Важной вехой для однолинейных фондов стала Семинар Бурбаки выступление Тьерри Коквана[8] в июне 2014 г.

Основные концепции

Универсальные основы возникли в результате определенных попыток создать основы математики на основе теория высших категорий. Наиболее близкими ранними идеями к унивалентным основам были идеи, которые Майкл Маккай выраженный в его дальновидной статье, известной как FOLDS.[9] Основное различие между однолистными основаниями и основаниями, предусмотренными Маккаем, заключается в признании того, что «аналоги множеств высших измерений» соответствуют бесконечные группоиды и что категории следует рассматривать как многомерные аналоги частично упорядоченные наборы.

Первоначально однолистные основы были разработаны Владимиром Воеводским с целью дать возможность тем, кто работает в классической чистой математике, использовать компьютеры для проверки своих теорем и построений. Тот факт, что однолистные основы по своей сути конструктивны, был обнаружен в процессе написания библиотеки Foundations (теперь части UniMath). В настоящее время в однолистных основаниях классическая математика рассматривается как «ретракт» конструктивная математика, т.е. классическая математика - это и подмножество конструктивной математики, состоящее из тех теорем и построений, которые используют закон исключенный средний как их предположение и "фактор" конструктивной математики по отношению эквивалентности по модулю аксиомы исключенного третьего.

В системе формализации однолистных оснований, основанной на теории типа Мартина-Лёфа и ее потомках, таких как Исчисление индуктивных конструкций, более многомерные аналоги множеств представлены типами. Коллекция типов стратифицируется концепцией h-уровень (или же уровень гомотопии).[10]

Типы h-уровня 0 равны одноточечному типу. Их еще называют стягиваемыми типами.

Типы h-уровня 1 - это те, в которых любые два элемента равны. В однолистном фундаменте такие типы называются «предложениями».[10] Определение предложений в терминах h-уровня согласуется с определением, предложенным ранее Аводи и Бауэром.[11] Итак, хотя все предложения являются типами, не все типы являются предложениями. Утверждение - это свойство типа, требующее доказательства. Например, первая фундаментальная конструкция в однолистном фундаменте называется iscontr. Это функция от типов к типам. Если Икс это тип тогда iscontr X это тип, который имеет объект тогда и только тогда, когда Икс стягивается. Это теорема (которая в библиотеке UniMath называется isapropiscontr) что для любого Икс тип iscontr X имеет h-уровень 1 и поэтому быть стягиваемым типом является свойством. Это различие между свойствами, которые наблюдаются объектами типов h-уровня 1, и структурами, которые наблюдаются объектами типов более высоких h-уровней, очень важно для однолистных оснований.

Типы h-уровня 2 называются наборами.[10] Это теорема, что тип натуральных чисел имеет h-уровень 2 (Isasetnat в UniMath). Создатели однолистных основ утверждают, что однолистная формализация множеств в теории типов Мартина-Лёфа является наилучшей доступной в настоящее время средой для формальных рассуждений обо всех аспектах теоретико-множественной математики, как конструктивных, так и классических.[12]

Категории определены (см. Библиотеку RezkCompletion в UniMath) как типы h-уровня 3 с дополнительной структурой, которая очень похожа на структуру типов h-уровня 2, которая определяет частично упорядоченные множества. Теория категорий в однолистных основаниях несколько отличается и богаче теории категорий в теоретико-множественном мире с ключевым новым различием между предварительными категориями и категориями.[13]

Изложение основных идей однолистных оснований и их связи с конструктивной математикой можно найти в учебном пособии Тьерри Коквана (часть 1, часть 2 ). Изложение основных идей с точки зрения классической математики можно найти в обзоре. статья Альваро Пелайо и Майкл Уоррен,[14] а также во введении[15] пользователя Daniel Grayson. См. Также статья о фонде библиотеки.

Текущие события

Отчет о построении Воеводским однолистной модели теории типа Мартина-Лёфа со значениями в симплициальных множествах Кана можно найти в статье Криса Капулкина, Питера ЛеФану Ламсдейна и Владимира Воеводского.[16] Унивалентные модели со значениями в категориях инверсии диаграммы из симплициальные множества были построены Майкл Шульман.[17] Эти модели показали, что аксиома однолистности не зависит от исключенной средней аксиомы для предложений.

Модель Воеводского считается неконструктивной, поскольку в ней используется аксиома выбора неизбежным образом.

Проблема нахождения конструктивной интерпретации правил теории типа Мартина-Лёфа, которая, кроме того, удовлетворяет аксиоме однолистности и каноничности для натуральных чисел, остается открытой. Частичное решение изложено в статье Марк Безем, Тьерри Кокванд и Саймон Хубер[18] при этом ключевой остающейся проблемой является вычислительное свойство средства исключения для типов идентификаторов. Идеи данной статьи сейчас развиваются по нескольким направлениям, включая развитие теории кубического типа.[19]

Новые направления

Большая часть работы по формализации математики в рамках однолистных основ выполняется с использованием различных подсистем и расширений Исчисления индуктивных конструкций.

Есть три стандартные задачи, решение которых, несмотря на многие попытки, не удалось построить с помощью CIC:

  1. Для определения типов полусимплициальных типов, H-типов или (infty, 1) -категорийных структур на типах.
  2. Расширить CIC системой управления юниверсами, которая позволит реализовать правила изменения размера.
  3. Разработать конструктивный вариант Аксиомы однолистности.[20]

Эти нерешенные проблемы указывают на то, что, хотя CIC является хорошей системой для начального этапа развития унивалентных основ, переход к использованию компьютерных помощников по доказательству в работе над ее более сложными аспектами потребует разработки нового поколения формальной дедукции. и вычислительные системы.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Awodey, Стив (2014). «Структурализм, инвариантность и однолистность» (PDF). Философия Математики. 22 (1): 1–11. CiteSeerX  10.1.1.691.8113. Дои:10.1093 / philmat / nkt030.
  2. ^ Воеводский, Владимир (9–10 сентября 2014 г.). «Основы математики - их прошлое, настоящее и будущее». Лекции Пола Бернейса 2014 г.. ETH Zurich. См. Пункт 11 на Воеводские лекции
  3. ^ аксиома однолистности в nLab
  4. ^ Библиотека фондов, см. https://github.com/vladimirias/Foundations
  5. ^ Библиотеку UniMath см. https://github.com/UniMath/UniMath
  6. ^ Библиотеку HoTT Coq см. https://github.com/HoTT/HoTT
  7. ^ Библиотека HoTT Agda, см. https://github.com/HoTT/HoTT-Agda
  8. ^ Лекция Коквана о Бурбаки Бумага и видео
  9. ^ Маккай, М. (1995). «Логика первого порядка с зависимыми видами, с приложениями к теории категорий» (PDF). ПАПКИ.
  10. ^ а б c Видеть Пелайо и Уоррен 2014, п. 611
  11. ^ Awodey, Стивен; Бауэр, Андрей (2004). «Предложения как [типы]». J. Log. Вычислить. 14 (4): 447–471. Дои:10.1093 / logcom / 14.4.447.
  12. ^ Воеводский 2014, Лекция 3, слайд 11
  13. ^ Видеть Аренс, Бенедикт; Капулкин, Крис; Шульман, Майкл (2015). «Однозначные категории и завершенность Резка». Математические структуры в компьютерных науках. 25 (5): 1010–1039. arXiv:1303.0584. Дои:10.1017 / S0960129514000486.
  14. ^ Пелайо, Альваро; Уоррен, Майкл А. (2014). «Теория гомотопических типов и однолистные основания Воеводского». Бык. Амер. Математика. Soc. 51: 597–648. Дои:10.1090 / S0273-0979-2014-01456-9.
  15. ^ Грейсон, Дэниел Р. (2018). «Введение в фундаментальные основы математики». Бык. Амер. Математика. Soc. 55 (4): 427–450. arXiv:1711.01477. Дои:10.1090 / бык / 1616.
  16. ^ Капулкин, Крис; Ламсдайн, Питер ЛеФану; Воеводский, Владимир (2012). «Симплициальная модель однолистных оснований». arXiv:1211.2851 [math.LO ].
  17. ^ Шульман, Майкл (2015). «Однозначность обратных диаграмм и гомотопическая каноничность». Математические структуры в компьютерных науках. 25 (5): 1203–1277. arXiv:1203.3253. Дои:10.1017 / S0960129514000565.
  18. ^ Безем, М .; Coquand, T .; Хубер, С. «Модель теории типов в кубических множествах» (PDF).
  19. ^ Альтенкирх, Торстен; Капоши, Амбрус, Синтаксис для теории кубических типов (PDF)
  20. ^ В. Воеводский, Univalent Foundations Project (модифицированная версия заявки на грант NSF), с. 9

Библиография

внешняя ссылка

Библиотеки формализованной математики