Структурализм (философия математики) - Structuralism (philosophy of mathematics)

Не путать с Структурализм (философия науки).

Структурализм это теория в философия математики который утверждает, что математические теории описывают структуры математические объекты. Математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах. Следовательно, структурализм утверждает, что математические объекты не обладают никакими внутренние свойства но определяются их внешними отношениями в системе. Например, структурализм считает, что число 1 исчерпывающе определено как преемник 0 в структуре теории натуральные числа. Обобщая этот пример, любое натуральное число определяется его соответствующим местом в этой структуре числовая строка. Другие примеры математических объектов могут включать линии и самолеты в геометрия, или элементы и операции в абстрактная алгебра.

Структурализм - это эпистемологически реалистичный точка зрения в том смысле, что математические утверждения имеют цель значение истины. Однако его центральное утверждение касается только того, что вид сущности математический объект, а не какой существование математические объекты или структуры имеют (иными словами, их онтология ). Вид существования математических объектов явно будет зависеть от структур, в которые они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают разные онтологические утверждения в этом отношении.[1]

Структурализм в философии математики особенно ассоциируется с Пол Бенасерраф, Джеффри Хеллман, Майкл Резник и Стюарт Шапиро.

Историческая мотивация

Историческая мотивация развития структурализма проистекает из фундаментальной проблемы онтология. поскольку Средневековый временами философы спорили о том, содержит ли онтология математики абстрактные объекты. В философии математики абстрактный объект традиционно определяется как сущность, которая: (1) существует независимо от разума; (2) существует независимо от эмпирического мира; и (3) имеет вечные неизменные свойства. Традиционный математический Платонизм утверждает, что некоторый набор математических элементов -натуральные числа, действительные числа, функции, связи, системы - такие абстрактные объекты. Напротив, математическая номинализм отрицает существование любых таких абстрактных объектов в онтологии математики.

В конце 19 - начале 20 века приобрел популярность ряд антиплатонических программ. К ним относятся интуиционизм, формализм, и предикативизм. Однако к середине 20 века у этих антиплатонистских теорий был ряд собственных проблем. Это впоследствии привело к возрождению интереса к платонизму. Именно в этом историческом контексте развивались мотивы структурализма. В 1965 г. Пол Бенасерраф опубликовал статью, меняющую парадигму, под названием «Каких чисел не могло быть».[2] Бенасерраф пришел к выводу, исходя из двух основных аргументов, что теоретико-множественный Платонизм не может быть успешным как философская теория математики.

Во-первых, Бенасерраф утверждал, что платоновские подходы не проходят онтологической проверки.[2] Он развил аргумент против онтологии теоретико-множественного платонизма, который теперь исторически называют Проблема идентификации Бенацеррафа. Бенасерраф отметил, что есть элементарно эквивалентный, теоретико-множественные способы соотнесения натуральных чисел с чистые наборы. Однако, если кто-то спросит «истинные» утверждения тождества для связи натуральных чисел с чистыми множествами, то различные теоретико-множественные методы дадут противоречивые утверждения тождества, когда эти элементарно эквивалентные множества связаны вместе.[2] Это порождает теоретико-множественную ложь. Следовательно, Бенацерраф пришел к выводу, что эта теоретико-множественная ложь демонстрирует невозможность существования какого-либо платоновского метода сведения чисел к множествам, раскрывающего какие-либо абстрактные объекты.

Во-вторых, Бенасерраф утверждал, что подходы Платона не проходят эпистемологический тестовое задание. Бенасерраф утверждал, что не существует эмпирического или рационального метода доступа к абстрактным объектам. Если математические объекты не являются пространственными или временными, то Бенасерраф делает вывод, что такие объекты недоступны через причинная теория познания.[3] Таким образом, перед платоником возникает фундаментальная эпистемологическая проблема: предложить правдоподобное объяснение того, как математик с ограниченным, эмпирическим умом способен точно получить доступ к независимым от разума, независимым от мира, вечным истинам. Именно исходя из этих соображений, онтологического аргумента и эпистемологического аргумента, антиплатоническая критика Бенацеррафа мотивировала развитие структурализма в философии математики.

Разновидности

Стюарт Шапиро делит структурализм на три основные школы мысли.[4] Эти школы называются ante rem, то в ре, а сообщение rem.

В ante rem структурализм[5] («перед вещью») или абстрактный структурализм[4] или абстракционизм[6][7] (особенно связанный с Майкл Резник,[4] Стюарт Шапиро,[4] Эдуард Н. Залта,[8] и Ойстейн Линнебо )[9] имеет аналогичную онтологию Платонизм (смотрите также модальный неологицизм ). Считается, что структуры имеют реальное, но абстрактное и нематериальное существование. Как таковая, она сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой, как отмечает Бенацерраф, объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови.[3]

В в ре структурализм[5] («в вещи»),[5] или модальный структурализм[4] (особенно связанный с Джеффри Хеллман ),[4] эквивалентен Аристотелевский реализм[10] (реализм по правде ценен, но антиреализм около абстрактные объекты в онтологии). Считается, что структуры существуют постольку, поскольку их иллюстрирует некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может быть недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в остальном законные структуры.

В сообщение rem структурализм[11] («после вещи») или элиминативный структурализм[4] (особенно связанный с Пол Бенасерраф ),[4] является антиреалист о структурах таким образом, чтобы номинализм. Как и номинализм, сообщение rem подход отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения математическая системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно для структуры, это будет верно для всех систем, иллюстрирующих эту структуру. Однако говорить о структурах, «общих» между системами, - это просто инструмент: они фактически не существуют независимо.

Смотрите также

Прекурсоры

использованная литература

  1. ^ Браун, Джеймс (2008). Философия математики. Нью-Йорк: Рутледж. п.62. ISBN  978-0-415-96047-2.
  2. ^ а б c Бенасерраф, Пол (1965), «Каких чисел не могло быть», Философский обзор Vol. 74. С. 47–73.
  3. ^ а б Бенацерраф, Пол (1973). «Математическая истина», в Benacerraf & Putnam, Философия математики: избранные материалы, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2-е издание. 1983, с. 403–420.
  4. ^ а б c d е ж г час Шапиро, Стюарт, «Математический структурализм», Философия Математики, 4(2), май 1996 г., стр. 81–2.
  5. ^ а б c Шапиро, Стюарт (1997), Философия математики: структура и онтология, Нью-Йорк, издательство Оксфордского университета. п. 9. ISBN  0195139305.
  6. ^ Логицизм и неологизм (Стэнфордская энциклопедия философии)
  7. ^ Не путать с абстракционистский платонизм.
  8. ^ Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман, "Логически последовательный структурализм Ante Rem", Семинар по онтологической зависимости, Бристольский университет, февраль 2011 г.
  9. ^ Ойстейн Линнебо, Тонкие объекты: абстракционизм, Oxford University Press, 2018.
  10. ^ Хаиро Жозе да Силва, Математика и ее приложения: трансцендентально-идеалистическая перспектива, Springer, 2017, стр. 265.
  11. ^ Нефдт, Райан М. (2018). «Инференциализм и структурализм: рассказ о двух теориях». Препринт PhilSci.

Список используемой литературы

  • Ресник, Майкл. (1982), «Математика как наука о паттернах: эпистемология», Ноус 16(1), стр. 95–105.
  • Резник, Майкл (1997), Математика как наука о моделях, Clarendon Press, Оксфорд, Великобритания. ISBN  978-0-19-825014-2

внешние ссылки