Модель Уиттакера - Whittaker model

В теория представлений, раздел математики, Модель Уиттакера это реализация представление из редуктивная алгебраическая группа такие как GL₂ через конечный или местный или глобальное поле на пространстве функций на группе. Он назван в честь Э. Т. Уиттакер хотя он никогда не работал в этой области, потому что (Жаке1966, 1967 ) указал, что для группы SL₂(р) некоторые из функций, участвующих в представлении: Функции Уиттекера.

Неприводимые представления модели без модели Уиттекера иногда называют «вырожденными», а модели с моделью Уиттекера - «общими». Представление θ₁₀ из симплектическая группа Sp₄ является простейшим примером вырожденного представления.

Модели Уиттакера для GL₂

Если г это алгебраическая группа GL₂ и F является локальным полем, и $τ$ фиксированный нетривиальный характер аддитивной группы F и $π$ является неприводимым представлением полной линейной группы г(F), то модель Уиттекера для $π$ это представление $π$ на пространстве функций ƒ на г(F) удовлетворение

{ displaystyle f left ({ begin {pmatrix} 1 & b 0 & 1 end {pmatrix}} g right) = tau (b) f (g).}

Жаке и Ленглендс (1970) использовали модели Уиттекера для присвоения L-функций допустимые представления из GL₂.

Модели Уиттакера для GL_п

Позволять ${ displaystyle G}$ быть общая линейная группа ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n}}$ , ${ displaystyle psi}$ гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный характер ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle U}$ подгруппа ${ displaystyle operatorname {GL} _ {n}}$ состоящий из унипотентных верхнетреугольных матриц. Невырожденный характер на ${ displaystyle U}$ имеет форму

{ displaystyle chi (u) = psi ( alpha _ {1} x_ {12} + alpha _ {2} x_ {23} + cdots + alpha _ {n-1} x_ {n-1n) }),}

для ${ displaystyle u = (x_ {ij})}$ ∈ ${ displaystyle U}$ и ненулевой ${ Displaystyle альфа _ {1}, ldots, альфа _ {п-1}}$ ∈ ${ displaystyle F}$ . Если ${ Displaystyle ( пи, В)}$ является гладким представлением ${ Displaystyle G (F)}$ , а Функционал Уиттекера ${ displaystyle lambda}$ является линейным непрерывным функционалом на ${ displaystyle V}$ такой, что ${ Displaystyle лямбда ( пи (и) v) = чи (и) лямбда (v)}$ для всех ${ displaystyle u}$ ∈ ${ displaystyle U}$ , ${ displaystyle v}$ ∈ ${ displaystyle V}$ . Кратность один заявляет, что для ${ displaystyle pi}$ унитарно неприводимое пространство функционалов Уиттекера имеет размерность не более единицы.

Модели Уиттекера для редуктивных групп

Если г является расщепленной редуктивной группой и U унипотентный радикал борелевской подгруппы B, то модель Уиттекера для представления - это вложение его в индуцированную (Гельфанд – Граев ) представление Ind^г
_U( $χ$ ), где $χ$ является невырожденным характером U, например, сумма символов, соответствующих простым корням.

Смотрите также

Представление Гельфанда – Граева, примерно сумма моделей Уиттекера над конечным полем.
Кириллов модель

использованная литература

Жаке, Эрве (1966), "Геометрическая интерпретация и обобщение функций Уиттакера в теории полупростых групп", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A943 – A945, ISSN 0151-0509, Г-Н 0200390
Жаке, Эрве (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley", Bulletin de la Société Mathématique de France, 95: 243–309, ISSN 0037-9484, Г-Н 0271275
Jacquet, H .; Лэнглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2), Конспект лекций по математике, Vol. 114, 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, Г-Н 0401654
Ж. А. Шалика, Теорема кратности один для ${ displaystyle GL_ {n}}$ , Анналы математики, 2-е. Сер., Т. 100, № 2 (1974), 171–193.

дальнейшее чтение

Жаке, Эрве; Шалика, Джозеф (1983). «Модели Уиттекера индуцированных представлений». Тихоокеанский математический журнал. 109 (1): 107–120. ISSN 0030-8730.