Метод Винера – Хопфа - Wiener–Hopf method

В Метод Винера – Хопфа математический метод, широко используемый в Прикладная математика. Первоначально он был разработан Норберт Винер и Эберхард Хопф как метод решения систем интегральные уравнения, но нашла более широкое применение при решении двумерных уравнения в частных производных со смешанным граничные условия на той же границе. В целом метод работает за счет использования комплексно-аналитический свойства преобразованных функций. Обычно стандарт преобразование Фурье используется, но существуют примеры с использованием других преобразований, таких как Преобразование Меллина.

Как правило, основные уравнения и граничные условия преобразуются, и эти преобразования используются для определения пары комплексных функций (обычно обозначаемых нижними индексами '+' и '-'), которые соответственно аналитический в верхней и нижней половинах комплексной плоскости и растут не быстрее, чем полиномы в этих областях. Эти две функции также будут совпадать на некоторой области комплексная плоскость обычно тонкая полоска, содержащая реальная линия. Аналитическое продолжение гарантирует, что эти две функции определяют единственную функцию, аналитическую во всей комплексной плоскости, и Теорема Лиувилля означает, что эта функция неизвестна многочлен, который часто бывает нулевым или постоянным. Анализ условий на краях и углах границы позволяет определить степень этого многочлена.

Разложение Винера – Хопфа

Ключевым шагом во многих задачах Винера – Хопфа является разложение произвольной функции ${displaystyle Phi}$ на две функции ${displaystyle Phi _ {pm}}$ с желаемыми свойствами, описанными выше. В общем, это можно сделать, написав

${displaystyle Phi _ {+} (alpha) = {frac {1} {2pi i}} int _ {C_ {1}} Phi (z) {frac {dz} {z-alpha}}}$

и

${displaystyle Phi _ {-} (alpha) = - {frac {1} {2pi i}} int _ {C_ {2}} Phi (z) {frac {dz} {z-alpha}},}$

где контуры ${displaystyle C_ {1}}$ и ${displaystyle C_ {2}}$ параллельны реальной прямой, но проходят выше и ниже точки ${displaystyle z = alpha}$соответственно.

Точно так же произвольные скалярные функции можно разложить на произведение +/− функций, т. Е. ${displaystyle K (альфа) = K _ {+} (альфа) K _ {-} (альфа)}$, сначала логарифмируя, а затем выполняя разложение на сумму. Произведение матричных функций (которые происходят в связанных мультимодальных системах, таких как упругие волны) значительно более проблематично, поскольку логарифм не определен должным образом, и можно ожидать, что любое разложение будет некоммутативным. Небольшой подкласс коммутативных разложений был получен Храпковым, а также были разработаны различные приближенные методы.^{[нужна цитата ]}

пример

Рассмотрим линейный уравнение в частных производных

${displaystyle {oldsymbol {L}} _ {xy} f (x, y) = 0,}$

где ${displaystyle {oldsymbol {L}} _ {xy}}$ - линейный оператор, содержащий производные по Икс и y, при смешанных условиях на y = 0 для некоторой заданной функции г(Икс),

${displaystyle f = g (x) {ext {for}} xleq 0, quad f_ {y} = 0 {ext {when}} x> 0}$

и распадаться на бесконечности, т.е. ж → 0 как ${displaystyle {oldsymbol {x}} ightarrow infty}$.

Принимая преобразование Фурье относительно Икс приводит к следующему обыкновенное дифференциальное уравнение

${displaystyle {oldsymbol {L}} _ {y} {widehat {f}} (k, y) -P (k, y) {widehat {f}} (k, y) = 0,}$

где ${displaystyle {oldsymbol {L}} _ {y}}$ - линейный оператор, содержащий y только деривативы, п(к, у) известная функция y и k и

${displaystyle {widehat {f}} (k, y) = int _ {- infty} ^ {infty} f (x, y) e ^ {- ikx}, {extrm {d}} x.}$

Если частное решение этого обыкновенного дифференциального уравнения, которое удовлетворяет необходимому убыванию на бесконечности, обозначено F(k,y), общее решение можно записать как

${displaystyle {widehat {f}} (k, y) = C (k) F (k, y),}$

где C(k) - неизвестная функция, определяемая граничными условиями на y=0.

Ключевая идея - разделить ${displaystyle {widehat {f}}}$ на две отдельные функции, ${displaystyle {widehat {f}} _ {+}}$ и ${displaystyle {widehat {f}} _ {-}}$ аналитические в нижней и верхней половине комплексной плоскости соответственно,

${displaystyle {widehat {f}} _ {+} (k, y) = int _ {0} ^ {infty} f (x, y) e ^ {- ikx}, {extrm {d}} x,}$

${displaystyle {widehat {f}} _ {-} (k, y) = int _ {- infty} ^ {0} f (x, y) e ^ {- ikx}, {extrm {d}} x.}$

Тогда граничные условия дают

${displaystyle {widehat {g,}} (k) + {widehat {f}} _ {+} (k, 0) = {widehat {f}} _ {-} (k, 0) + {widehat {f}). } _ {+} (k, 0) = {widehat {f}} (k, 0) = C (k) F (k, 0)}$

и, взяв производные по ${displaystyle y}$,

${displaystyle {widehat {f}} '_ {-} (k, 0) = {widehat {f}}' _ {-} (k, 0) + {widehat {f}} '_ {+} (k, 0) = {widehat {f}} '(k, 0) = C (k) F' (k, 0).}$

Устранение ${displaystyle C (k)}$ дает

${displaystyle {widehat {g,}} (k) + {widehat {f}} _ {+} (k, 0) = {widehat {f}} '_ {-} (k, 0) / K (k)) ,}$

где

${displaystyle K (k) = {frac {F '(k, 0)} {F (k, 0)}}.}$

Сейчас же ${displaystyle K (k)}$ можно разложить на произведение функций ${displaystyle K ^ {-}}$ и ${displaystyle K ^ {+}}$ аналитические в верхней и нижней полуплоскостях соответственно.

Точнее, ${displaystyle K (k) = K ^ {+} (k) K ^ {-} (k),}$ где

${displaystyle log K ^ {-} = {frac {1} {2pi i}} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {log (K (z))} {zk}}, {extrm {d} } z, имя оператора четверки {Im} k> 0,}$

${displaystyle log K ^ {+} = - {frac {1} {2pi i}} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {log (K (z))} {zk}}, {extrm {d }} z, имя оператора четырехъядерного {Im} k <0.}$

(Обратите внимание, что иногда это связано с масштабированием ${displaystyle K}$ так что это имеет тенденцию ${displaystyle 1}$ так как ${displaystyle kightarrow infty}$.) Также разложим ${displaystyle K ^ {+} {widehat {g,}}}$ в сумму двух функций ${displaystyle G ^ {+}}$ и ${displaystyle G ^ {-}}$ которые аналитичны в нижней и верхней полуплоскостях соответственно, т. е.

${displaystyle K ^ {+} (k) {widehat {g,}} (k) = G ^ {+} (k) + G ^ {-} (k).}$

Это можно сделать так же, как мы разложили на множители ${displaystyle K (k).}$Вследствие этого,

${displaystyle G ^ {+} (k) + K _ {+} (k) {widehat {f}} _ {+} (k, 0) = {widehat {f}} '_ {-} (k, 0) / K _ {-} (k) -G ^ {-} (k).}$

Теперь, поскольку левая часть приведенного выше уравнения аналитична в нижней полуплоскости, а правая часть аналитична в верхней полуплоскости, аналитическое продолжение гарантирует существование целой функции, совпадающей с левой. или правые стороны в соответствующих полуплоскостях. Кроме того, поскольку можно показать, что функции по обе стороны от приведенного выше уравнения убывают при больших k, приложение Теорема Лиувилля показывает, что вся эта функция тождественно равна нулю, поэтому

${displaystyle {widehat {f}} _ {+} (k, 0) = - {гидроразрыв {G ^ {+} (k)} {K ^ {+} (k)}},}$

и так

${displaystyle C (k) = {frac {K ^ {+} (k) {widehat {g,}} (k) -G ^ {+} (k)} {K ^ {+} (k) F (k) , 0)}}.}$

Смотрите также

• Винеровский фильтр
• Проблема Римана – Гильберта

использованная литература

• "Категория: Винер-Хопф - WikiWaves". wikiwaves.org. Получено 2020-05-19.
• «Метод Винера-Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Форнберг, Бенгт ,. Комплексные переменные и аналитические функции: иллюстрированное введение. Пирет, Сесиль ,. Филадельфия. ISBN  978-1-61197-597-0. OCLC  1124781689.CS1 maint: лишняя пунктуация (ссылка на сайт) CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)