Игу яньдуань - Википедия - Yigu yanduan

Предисловие к Игу яньдуань, Сику Цюаньшу

Игу яньдуань (益古演段 Старая математика в расширенных разделах) - математическая работа XIII века, написанная Династия Юань математик Ли Чжи.

Обзор

Игу яньдуань был основан на Северная песня математик Цзян Чжоу 's (蒋周) Игу Джи (益古集 Сборник древней математики), который вымер. Однако из фрагментов, цитируемых в Ян Хуэй работа Полный алгоритм посевных площадей (田亩比类算法大全), этот утерянный математический трактат Игу Джи был о решении задач области с геометрией.

Ли Чжи использовал примеры Игу Джи представить искусство Тянь Юань Шу новичкам в этой сфере. Хотя предыдущая монография Ли Чжи Сеюань Хайцзин также использовал Тянь юань шу, это труднее понять, чем Игу яньдуань.

Игу яньдуань позже был собран в Сику Цюаньшу.

Игу яньдуань состоит из трех томов, в которых 64 задачи решены с использованием Тянь Юань ш] параллельно с геометрическим методом. Ли Чжи намеревался познакомить студентов с искусством Тянь юань шу через древнюю геометрию. Игу яньдуань вместе с Сеюань Хайцзин считаются основным вкладом в Тянь Юань Шу пользователя Li Zhi. Эти две работы также считаются самыми ранними дошедшими до нас документами о Тянь юань шу.

Все 64 задачи выполнялись более или менее в одном и том же формате, начиная с вопроса (问), за которым следует ответ (答曰), диаграмма, затем алгоритм (), в котором Ли Чжи шаг за шагом объяснил, как установить уравнение алгебры с Тянь Юань Шу, затем следует геометрическая интерпретация (Тяо дуань шу). Порядок расположения уравнения Тянь юань шу в Игу яньдуань является обратным тому, что в Ceyuan haijing, то есть здесь с постоянным членом вверху, за которым следуют тянь юань первого порядка, тянь юань второго порядка, тян юань третьего порядка и т. д. , Цинь Цзюшао Математический трактат в девяти разделах ), а позже стало нормой.

Игу яньдуань был впервые представлен английским читателям британским протестантским христианским миссионером в Китае, Александр Вайли кто написал:

Yi koo yen t'wan ... написанный в 1282 году, состоит из 64 геометрических задач, иллюстрирующих принцип измерения плоскости, эволюции и другие правила, все это разработано с помощью T'een yuen.^[1]

В 1913 году Ван Хи перевел все 64 задачи на Игу яньдуань на французский.^[2]

Том I

Проблема 8 в Игу яньдуань решено в очереди Тянь Юань Шу

Задачи с 1 по 22, все о математике круга, заключенного в квадрат.

Пример: задача 8

Есть квадратное поле с круглым бассейном посередине, учитывая, что площадь земли составляет 13,75 му, а сумма окружностей квадратного поля и круглого бассейна равна 300 ступеням, каковы длины окружностей квадрата и круга. соответствующий?

Ответ: Окружность квадрата - 240 шагов, окружность круга - 60 шагов.

Метод: установите тянь юань один (небесный элемент 1) как диаметр круга, x

TAI

умножьте его на 3, чтобы получить длину окружности в 3 раза (пи ~~ 3)

TAI

вычтите это из суммы окружностей, чтобы получить длину окружности квадрата ${ displaystyle 300-3x}$

TAI

Его площадь в 16 раз больше площади квадрата. ${ displaystyle (300-3x) * (300-3x) = 90000-1800x + 9x ^ {2}}$

TAI

Снова установите тянь юань 1 как диаметр круга, возведите его в квадрат и умножьте на 12, чтобы получить площадь круга в 16 раз как

TAI

вычтите из 16 временных квадратов площадь, у нас есть 16-кратная площадь земли

TAI

поместите его справа и поставьте 16 раз 13,75 mu = 16 * 13,75 * 240 = 52800 шагов слева, после отмены получаем ${ displaystyle -3x ^ {2} -1800x + 37200 = 0:}$

TAI

Решите это уравнение, чтобы получить диаметр круга = 20 шагов, длина окружности = 60 шагов.

Том II

Задачи с 23 по 42, 20 задач во всей решающей геометрии прямоугольника, заключенного в круг с тянь юань шу

Пример, задача 35

Предположим, у нас есть круговое поле с прямоугольным бассейном с водой в центре, а расстояние от угла до окружности составляет 17,5 ступеней, а сумма длины и ширины бассейна составляет 85 ступеней, каков диаметр круга, длина и ширина бассейна?

Ответ: Диаметр круга равен 100 ступеням, длина бассейна - 60 ступеней, а ширина - 25 ступеней. Метод: Пусть диагональ прямоугольника равна единице тянь юань, тогда диаметр круга равен единице юаня плюс 17,5 * 2

{ displaystyle x + 35}

умножьте квадрат диаметра на ${ Displaystyle пи приблизительно 3}$ равняется четырехкратной площади круга:

{ displaystyle 3 (x + 35) ^ {2} = 3x ^ {2} + 210x + 3675}

вычитая четырехкратную площадь земли, получаем:

в четыре раза больше бассейна =

{ displaystyle 3x ^ {2} + 210x + 3675-4x6000}

=

{ displaystyle 3x ^ {2} + 210x-20325}

сейчас же

Квадрат суммы длины и ширины бассейна = 85 * 85 = 7225, что в четыре раза больше площади бассейна плюс квадрат разницы его длины и ширины ( ${ displaystyle (L-W) ^ {2}}$ )

Кроме того, удвойте площадь бассейна плюс ${ displaystyle (L-W) ^ {2}}$ равно ${ displaystyle L ^ {2} + W ^ {2}}$ = квадрат диагонали бассейна, таким образом

(четырехкратная площадь бассейна + квадрат разницы в размерах) - (удвоенная площадь бассейна + квадрат, если разница в размерах) равно ${ displaystyle 7225-x ^ {2}}$ = вдвое больше бассейна

так в четыре раза больше площади бассейна = ${ displaystyle 2 (7225-x ^ {2})}$

приравняйте это с четырехкратной площадью бассейна, полученной выше

{ displaystyle 2 (7225-x ^ {2})}

=

{ displaystyle 3x ^ {2} + 210x-20325}

мы получаем квадратное уравнение ${ displaystyle 5x ^ {2} + 210x-34775}$ = 0 Решите это уравнение, чтобы получить

диагональ бассейна = 65 ступеней
диаметр круга = 65 + 2 * 17,5 = 100 шагов
Длина - ширина = 35 шагов
Длина + ширина = 85 шагов
Длина = 60 шагов
Ширина = 25 шагов

Том III

Задачи с 42 по 64, всего 22 вопроса по математике более сложных диаграмм.

В: пятьдесят четвертый. Поле квадратное, по диагонали - прямоугольный бассейн. Площадь за пределами бассейна - тысяча сто пятьдесят шагов. При том, что от углов поля до прямых сторон бассейна проходят четырнадцать шагов и девятнадцать шагов. Какая площадь квадратного поля, какова длина и ширина бассейна?

Ответ: Площадь квадратного поля - 40 квадратных шагов, длина бассейна - тридцать пять шагов, а ширина - двадцать пять шагов.

Пусть ширина бассейна будет Тяньюань 1.

TAI

Добавьте ширину бассейна к удвоенному расстоянию от угла поля до короткой длинной стороны бассейна, равному длине диагонали поля x + 38