Геометрия Зарисского - Zariski geometry

В математика, а Геометрия Зарисского состоит из абстрактной структуры, представленной Эхуд Грушовски и Борис Зильбер, чтобы дать характеристику Топология Зарисского на алгебраическая кривая, и все его возможности. Топология Зариского на произведении алгебраические многообразия очень редко топология продукта, но богаче замкнутыми наборами, определяемыми уравнениями, которые смешивают два набора переменных. Описанный результат придает этому очень определенное значение применительно к проективные кривые и компактные римановы поверхности особенно.

Определение

А Геометрия Зарисского состоит из набора Икс и топологическая структура на каждом из наборов

Икс, Икс², Икс³, …

удовлетворяющие определенным аксиомам.

(N) Каждый из Икс^п это Нетерово топологическое пространство, размером не более п.

Теперь будет принята некоторая стандартная терминология для нётеровых пространств.

(A) В каждом Икс^п, подмножества, определяемые равенством в п-кортеж закрыты. Отображения

Икс^м → Икс^п

определены путем проецирования определенных координат и установки других как постоянных, все являются непрерывными.

(B) Для проекции

п: Икс^м → Икс^п

и несводимый закрытое подмножество Y из Икс^м, п(Y) лежит между его закрытием Z и Z \ Z' куда Z′ - собственное замкнутое подмножество Z. (Это исключение квантора, на абстрактном уровне.)

(С) Икс неприводимо.

(D) Существует равномерная оценка количества элементов слоя в проекции любого замкнутого множества в Икс^м, кроме случаев, когда волокно Икс.

(E) Замкнутое неприводимое подмножество Икс^м, размерности р, при пересечении с диагональным подмножеством, в котором s координаты равны, имеет все компоненты размерности не менее р − s + 1.

Требуемое дополнительное условие называется очень обильный (ср. очень обширный линейный комплект ). Предполагается, что существует неприводимое замкнутое подмножество п некоторых Икс^м, и неприводимое замкнутое подмножество Q из п× Икс² со следующими свойствами:

(I) Для заданных пар (Икс, y), (Икс′, y') в Икс², для некоторых т в п, набор (т, ты, v) в Q включает (т, Икс, y) но нет (т, Икс′, y′)

(J) Для т вне собственного закрытого подмножества п, набор (Икс, y) в Икс², (т, Икс, y) в Q является неприводимым замкнутым множеством размерности 1.

(K) Для всех пар (Икс, y), (Икс′, y') в Икс², выбранных вне надлежащего закрытого подмножества, есть некоторые т в п такой, что набор (т, ты, v) в Q включает (т, Икс, y) и (т, Икс′, y′).

С геометрической точки зрения это говорит о том, что кривых достаточно для разделения точек (I) и соединения точек (K); и что такие кривые можно взять из одного параметрическая семья.

Затем Хрушовский и Зильбер доказывают, что при этих условиях существует алгебраически замкнутое поле K, а неособый алгебраическая кривая C, такая, что его геометрия Зарисского и их Топология Зарисского изоморфна данному. Короче говоря, геометрию можно алгебраизировать.

Геометрия Зарисского - Zariski geometry

Определение

Рекомендации