Сорт Альбанезе - Википедия - Albanese variety

В математика, то Сорт Альбанезе ${ Displaystyle A (V)}$ , названный в честь Джакомо Альбанезе, является обобщением Якобиева многообразие кривой.

Точное заявление

Сорт Альбанезе - это абелевый сорт. ${ displaystyle A}$ генерируется разнообразием ${ displaystyle V}$ взяв заданную точку ${ displaystyle V}$ к личности ${ displaystyle A}$ . Другими словами, есть морфизм из разновидности ${ displaystyle V}$ своему сорту Альбанезе ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$ , такой, что любой морфизм из ${ displaystyle V}$ в абелево многообразие (переводящее данную точку в тождество) разлагается однозначно через ${ Displaystyle OperatorName {Альбом} (V)}$ . Для комплексных многообразий Андре Бланшар (1956 ) аналогично определил многообразие Альбанезе как морфизм из ${ displaystyle V}$ к тору ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$ такой, что любой морфизм тора однозначно факторизуется через это отображение. (В данном случае это аналитическое многообразие; оно не обязательно должно быть алгебраическим.)

Характеристики

За компактный Кэлеровы многообразия размер сорта Альбанезе - Номер Ходжа ${ displaystyle h ^ {1,0}}$ , размерность пространства дифференциалы первого рода на ${ displaystyle V}$ , который для поверхностей называется неровность поверхности. С точки зрения дифференциальные формы, любая голоморфная 1-форма на ${ displaystyle V}$ это откат трансляционно-инвариантной 1-формы на многообразии Альбанезе, происходящей из голоморфной котангенс пространство из ${ Displaystyle OperatorName {Альбом} (V)}$ в его индивидуальном элементе. Как и в случае кривой, по выбору базовая точка на ${ displaystyle V}$ (из которого «интегрировать»), Морфизм Альбанезе

{ displaystyle V to operatorname {Alb} (V)}

определяется, по которому 1-формы отступают. Этот морфизм уникален вплоть до перевода на разновидность Альбанезе. Для многообразий над полями положительной характеристики размерность многообразия Альбанезе может быть меньше чисел Ходжа ${ displaystyle h ^ {1,0}}$ и ${ displaystyle h ^ {0,1}}$ (которые не обязательно должны быть равными). Чтобы увидеть первое, обратите внимание, что сорт Альбанезе двойственен Разновидность пикара, касательное пространство которого в единице задается формулой ${ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X}).}$ Который ${ displaystyle dim operatorname {Alb} (X) leq h ^ {1,0}}$ является результатом Дзюн-ичи Игуса в библиографии.

Теорема Ройтмана

Если наземное поле k является алгебраически замкнутый, карта Альбанезе ${ displaystyle V to operatorname {Alb} (V)}$ можно показать факторизовать гомоморфизм группы (также называемый Карта Альбанезе)

{ Displaystyle CH_ {0} (V) to operatorname {Alb} (V) (k)}

от Группа чау 0-мерных циклов на V к группе рациональные точки из ${ displaystyle operatorname {Alb} (V)}$ , которая является абелевой группой, поскольку ${ Displaystyle OperatorName {Альбом} (V)}$ является абелевой разновидностью.

Теорема Ройтмана, введенный А.А. Ройтман (1980 ), утверждает, что при л премьер к char (k) отображение Альбанезе индуцирует изоморфизм на л-кручение подгруппы.^[1]^[2] Замена группы Чжоу алгебраическими сингулярными гомологиями Суслина – Воеводского после введения Мотивная когомология Теорема Ройтмана была получена и переформулирована в мотивационных рамках. Например, аналогичный результат верен для неособых квазипроективных многообразий.^[3] Дальнейшие версии Теорема Ройтмана доступны для обычных схем.^[4] Собственно, самые общие формулировки Теорема Ройтмана (т.е. гомологические, когомологические и Борел – Мур ) вовлекают мотивный комплекс Альбанезе ${ displaystyle operatorname {LAlb} (V)}$ и были доказаны Лукой Барбьери-Виале и Бруно Каном (см. ссылки III.13).

Связь с разновидностью Пикар

Сорт Альбанезе - это двойной к Разновидность пикара (в связный компонент нуля Схема Пикара классификация обратимые связки на V):

{ displaystyle operatorname {Alb} V = ( operatorname {Pic} _ {0} V) ^ { vee}.}

Для алгебраических кривых Теорема Абеля – Якоби следует, что многообразия Альбанезе и Пикара изоморфны.

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ Ройтман, А.А. (1980). «Кручение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Анналы математики. Вторая серия. 111 (3): 553–569. Дои:10.2307/1971109. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971109. МИСТЕР 0577137.
^ Блох, Спенсер (1979). "Алгебраические циклы кручения и теорема Ройтмана". Compositio Mathematica. 39 (1). МИСТЕР 0539002.
^ Spieß, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Mathematische Annalen. 325: 1–17. arXiv:математика / 0009017. Дои:10.1007 / s00208-002-0359-8.
^ Гейссер, Томас (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Письма о математических исследованиях. 22 (4): 1129–1144. arXiv:1402.1831. Дои:10.4310 / MRL.2015.v22.n4.a8.

Барбьери-Виале, Лука; Кан, Бруно (2016), О производной категории 1-мотивов, Astérisque, 381, SMF, arXiv:1009.1900, ISBN 978-2-85629-818-3, ISSN 0303-1179, МИСТЕР 3545132
Бланшар, Андре (1956), "Sur les varétés analytiques комплексы", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 3, 73 (2): 157–202, Дои:10.24033 / asens.1045, ISSN 0012-9593, МИСТЕР 0087184
Гриффитс, Филипп; Харрис, Джо (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. С. 331, 552. ISBN 978-0-471-05059-9.
Игуса, Дзюн-ичи (1955). «Фундаментальное неравенство в теории многообразий Пикара». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 41 (5): 317–20. Bibcode:1955ПНАС ... 41..317И. Дои:10.1073 / pnas.41.5.317. ЧВК 528086. PMID 16589672.
Паршин, Алексей Н. (2001) [1994], "Albanese_variety", Энциклопедия математики, EMS Press

[1] Ройтман, А.А. (1980). «Кручение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Анналы математики. Вторая серия. 111 (3): 553–569. Дои:10.2307/1971109. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971109. МИСТЕР 0577137.

[2] Блох, Спенсер (1979). "Алгебраические циклы кручения и теорема Ройтмана". Compositio Mathematica. 39 (1). МИСТЕР 0539002.

[3] Spieß, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Mathematische Annalen. 325: 1–17. arXiv:математика / 0009017. Дои:10.1007 / s00208-002-0359-8.

[4] Гейссер, Томас (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Письма о математических исследованиях. 22 (4): 1129–1144. arXiv:1402.1831. Дои:10.4310 / MRL.2015.v22.n4.a8.

[1]

[2]

[3]

[4]