Аналитическое кручение - Analytic torsion

В математике Кручение Рейдемейстера (или же R-кручение, или же Кручение Рейдемайстера – Франца) это топологический инвариант из коллекторы представлен Курт Райдемайстер (Рейдемейстер 1935 ) за 3-х коллектор и обобщены на высшие размеры к Вольфганг Франц (1935 ) и Жорж де Рам (1936 ).Аналитическое кручение (или же Кручение Рэя – Зингера) является инвариантом Римановы многообразия определяется Дэниел Б. Рэй и Исадор М. Сингер (1971, 1973a, 1973b ) как аналитический аналог кручения Райдемейстера. Джефф Чигер (1977, 1979 ) и Вернер Мюллер (1978 ) доказал гипотезу Рэя и Зингера о том, что Кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение одинаковы для компактных римановых многообразий.

Кручение Рейдемейстера было первым инвариантом алгебраическая топология которые могут различать замкнутые коллекторы, которые гомотопический эквивалент но нет гомеоморфный, и поэтому его можно рассматривать как рождение геометрическая топология как отдельное поле. Его можно использовать для классификации линзы.

Кручение Рейдемейстера тесно связано с Кручение белой головки; видеть (Милнор 1966 ). Это также послужило важной мотивацией для арифметическая топология; видеть (Мазур ). Более свежие работы по кручению см. В книгах (Тураев 2002 ) и (Николаеску2002, 2003 ).

Определение аналитического кручения

Если M является римановым многообразием и E векторное расслоение над M, то есть Оператор лапласа действуя на я-форма со значениями в E. Если собственные значения на я-формы являются λ_j то дзета-функция ζ_я определяется как

{displaystyle zeta _ {i} (s) = sum _ {lambda _ {j}> 0} lambda _ {j} ^ {- s}}

за s большой, и это распространяется на все сложные s к аналитическое продолжение Дзета-регуляризованный определитель лапласиана, действующий на я-forms есть

{displaystyle Delta _ {i} = exp (-zeta _ {i} ^ {prime} (0))}

который формально является произведением положительных собственных значений лапласиана, действующего на я-форм. аналитическое кручение Т(M,E) определяется как

{displaystyle T (M, E) = exp left (sum _ {i} (- 1) ^ {i} izeta _ {i} ^ {prime} (0) / 2ight) = prod _ {i} Delta _ {i } ^ {- (- 1) ^ {i} i / 2}.}

Определение кручения Рейдемейстера

Позволять ${displaystyle X}$ быть конечным связным CW-комплекс с фундаментальная группа ${displaystyle pi: = pi _ {1} (X)}$ и универсальный чехол ${displaystyle {ilde {X}}}$ , и разреши ${displaystyle U}$ - ортогональный конечномерный ${displaystyle pi}$ -представление. Предположим, что

{displaystyle H_ {n} ^ {pi} (X; U): = H_ {n} (Uotimes _ {mathbf {Z} [pi]} C _ {*} ({ilde {X}})) = 0}

для всех п. Если закрепить сотовую основу для ${displaystyle C _ {*} ({ilde {X}})}$ и ортогональный ${displaystyle mathbf {R}}$ -основа для ${displaystyle U}$ , тогда ${displaystyle D _ {*}: = Uotimes _ {mathbf {Z} [pi]} C _ {*} ({ilde {X}})}$ стягиваемая конечная базируемая свободная ${displaystyle mathbf {R}}$ -цепной комплекс. Позволять ${displaystyle gamma _ {*}: D _ {*} o D _ {* + 1}}$ - любое цепное сжатие D_*, т.е. ${displaystyle d_ {n + 1} circ gamma _ {n} + gamma _ {n-1} circ d_ {n} = id_ {D_ {n}}}$ для всех ${displaystyle n}$ . Получаем изоморфизм ${displaystyle (d _ {*} + gamma _ {*}) _ {ext {odd}}: D_ {ext {odd}} o D_ {ext {even}}}$ с ${displaystyle D_ {ext {odd}}: = oplus _ {n, odd}, D_ {n}}$ , ${displaystyle D_ {ext {even}}: = oplus _ {n, {ext {even}}}, D_ {n}}$ . Мы определяем Кручение Рейдемейстера

{displaystyle ho (X; U): = | det (A) | ^ {- 1} в mathbf {R} ^ {> 0}}

где A - матрица ${displaystyle (d _ {*} + gamma _ {*}) _ {ext {odd}}}$ по данным базам. Торсион Рейдемейстера ${displaystyle ho (X; U)}$ не зависит от выбора сотовой основы для ${displaystyle C _ {*} ({ilde {X}})}$ , ортогональный базис для ${displaystyle U}$ и сжатие цепи ${displaystyle gamma _ {*}}$ .

Позволять ${displaystyle M}$ - компактное гладкое многообразие, и пусть ${displaystyle ho двоеточие pi (M) ightarrow GL (E)}$ - унимодулярное представление. ${displaystyle M}$ имеет гладкую триангуляцию. На любой выбор объема ${displaystyle mu in det H _ {*} (M)}$ , получаем инвариант ${displaystyle au _ {M} (ho: mu) в mathbf {R} ^ {+}}$ . Затем мы называем положительное действительное число ${displaystyle au _ {M} (ho: mu)}$ кручение Рейдемейстера многообразия ${displaystyle M}$ относительно ${displaystyle ho}$ и ${displaystyle mu}$ .

Краткая история кручения Рейдемайстера

Кручение Рейдемейстера впервые было использовано для комбинаторной классификации трехмерных объектов. линзы в (Рейдемейстер 1935 ) Райдемейстером, а в многомерных пространствах - Францем. В классификацию включены примеры гомотопический эквивалент Трехмерные многообразия, не являющиеся гомеоморфный - в то время (1935 г.) классификация была только до PL гомеоморфизм, но позже Э.Дж. Броды (1960 ) показал, что это была классификация до гомеоморфизм.

Дж. Х. К. Уайтхед определил "кручение" гомотопической эквивалентности между конечными комплексами. Это прямое обобщение концепции Рейдемейстера, Франца и де Рама; но это более тонкий инвариант. Кручение белой головки обеспечивает ключевой инструмент для изучения комбинаторных или дифференцируемых многообразий с нетривиальной фундаментальной группой и тесно связан с концепцией «простого гомотопического типа», см. (Милнор 1966 )

В 1960 году Милнор открыл отношение двойственности инвариантов кручения многообразий и показал, что (скрученный) многочлен Александера узлов является кручением Рейдемистера его узлового дополнения в ${displaystyle S ^ {3}}$ . (Милнор 1962 ) Для каждого q то Двойственность Пуанкаре ${displaystyle P_ {o}}$ побуждает

{displaystyle P_ {o} имя оператора двоеточия {det} (H_ {q} (M)) {overset {sim} {, longrightarrow,}} (имя оператора {det} (H_ {nq} (M))) ^ {- 1 }}

и тогда получаем

{displaystyle Delta (t) = pm t ^ {n} Delta (1 / t).}

Центральную роль в них играет представление фундаментальной группы узлового дополнения. Он устанавливает связь между теорией узлов и инвариантами кручения.

Теорема Чигера – Мюллера

Позволять ${displaystyle (M, g)}$ - ориентируемое компактное риманово многообразие размерности n и ${displaystyle ho двоеточие pi (M) ightarrow mathop {GL} (E)}$ представление фундаментальной группы ${displaystyle M}$ на вещественном векторном пространстве размерности N. Тогда мы можем определить комплекс де Рама

{displaystyle Lambda ^ {0} {stackrel {d_ {0}} {longrightarrow}} Lambda ^ {1} {stackrel {d_ {1}} {longrightarrow}} cdots {stackrel {d_ {n-1}} {longrightarrow} } Лямбда ^ {n}}

и формально сопряженный ${displaystyle d_ {p}}$ и ${displaystyle delta _ {p}}$ из-за плоскостности ${displaystyle E_ {q}}$ . Как обычно, мы также получаем лапласиан Ходжа на p-формах

{displaystyle Delta _ {p} = delta _ {p + 1} d_ {p} + d_ {p-1} delta _ {p}.}

При условии, что ${displaystyle partial M = 0}$ , то лапласиан является симметричным положительным полуположительным эллиптическим оператором с чисто точечным спектром

{displaystyle 0leq lambda _ {0} leq lambda _ {1} leq cdots ightarrow infty.}

Таким образом, как и раньше, мы можем определить дзета-функцию, связанную с лапласианом ${displaystyle Delta _ {q}}$ на ${displaystyle Lambda ^ {q} (E)}$ к

{displaystyle zeta _ {q} (s; ho) = sum _ {lambda _ {j}> 0} lambda _ {j} ^ {- s} = {frac {1} {Gamma (s)}} int _ { 0} ^ {infty} t ^ {s-1} {ext {Tr}} (e ^ {- tDelta _ {q}} - P_ {q}) dt, {ext {Re}} (s)> {frac {n} {2}}}

куда ${displaystyle P}$ это проекция ${displaystyle L ^ {2} Lambda (E)}$ на пространство ядра ${displaystyle {mathcal {H}} ^ {q} (E)}$ лапласиана ${displaystyle Delta _ {q}}$ . Более того, это было показано (Сили 1967 ) который ${displaystyle zeta _ {q} (s; ho)}$ распространяется на мероморфную функцию ${displaystyle sin mathbf {C}}$ которая голоморфна в ${displaystyle s = 0}$ .

Как и в случае ортогонального представления, определим аналитическое кручение ${displaystyle T_ {M} (хо; E)}$ к

{displaystyle T_ {M} (ho; E) = exp {iggl (} {frac {1} {2}} sum _ {q = 0} ^ {n} (- l) ^ {q} q {frac {d } {ds}} zeta _ {q} (s; ho) {iggl |} _ {s = 0} {iggr)}.}.

В 1971 году Д. Рэй и И.М.Зингер предположили, что ${displaystyle T_ {M} (ho; E) = au _ {M} (ho; mu)}$ для любого унитарного представления ${displaystyle ho}$ . Эта гипотеза Рэя – Зингера была в конечном итоге независимо доказана Чигером (1977, 1979 ) и Мюллер (1978). Оба подхода ориентированы на логарифм кручений и их следов. Для нечетномерных многообразий это проще, чем для четномерных, что связано с дополнительными техническими трудностями. Эта теорема Чигера – Мюллера (что два понятия кручения эквивалентны) вместе с Теорема Атьи – Патоди – Зингера, позже легла в основу Теория возмущений Черна – Саймонса..

Доказательство теоремы Чигера-Мюллера для произвольных представлений было позже дано Дж. М. Бисмутом и Вейпином Чжаном. В их доказательстве используется Деформация Виттена.

Аналитическое кручение - Analytic torsion

Содержание

Определение аналитического кручения

Определение кручения Рейдемейстера

Краткая история кручения Рейдемайстера

Теорема Чигера – Мюллера

Рекомендации