Теорема Бекса (геометрия) - Википедия - Becks theorem (geometry)

В дискретная геометрия, Теорема Бека - это любой из нескольких различных результатов, два из которых приведены ниже. Обе они появились, наряду с несколькими другими важными теоремами, в известной статье Йожеф Бек.^[1] Два описанных ниже результата в первую очередь относятся к нижним оценкам количества строк. определенный набором точек на плоскости. (Любая линия, содержащая не менее двух точек набора точек, называется определенный к этому моменту установлен.)

Теорема Эрдеша – Бека

В Теорема Эрдеша – Бека является вариацией классического результата Л. М. Келли и У. О. Дж. Мозер^[2] включая конфигурации п точки, из которых не более п − k коллинеарны, для некоторого 0 <k < О(√п). Они показали, что если п достаточно велико, относительно k, то конфигурация охватывает не менее кн − (1/2)(3k + 2)(k - 1) линии.^[3]

Элекес и Чаба Тот отметили, что теорему Эрдеша – Бека нелегко распространить на более высокие измерения.^[4] Возьмем, к примеру, набор из 2п указывает в р³ все лежат на двоих косые линии. Предположим, что каждая из этих двух линий связана с п точки. Такая конфигурация точек охватывает всего 2п самолеты. Таким образом, тривиальное расширение гипотезы для точечных множеств в р^d недостаточно для получения желаемого результата.

Этот результат был впервые высказан Erds, и доказано Беком. (Видеть Теорема 5.2. в.^[1])

Заявление

Позволять S быть набором п точки в плоскости. Если не более п − k точки лежат на любой прямой для некоторого 0 ≤k < п - 2, то существует Ω (нк) линии, определяемые точкамиS.

Доказательство

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Март 2010 г.)

Теорема Бека

Теорема Бека говорит, что конечные наборы точек на плоскости попадают в одну из двух крайностей; один, где большая часть точек лежит на одной линии, и другой, где требуется большое количество линий для соединения всех точек.

Хотя это не упоминается в статье Бека, этот результат вытекает из Теорема Эрдеша – Бека.^[5]

Заявление

Теорема утверждает существование положительных постоянных C, K такой, что при любом п точек на плоскости, верно хотя бы одно из следующих утверждений:

1. Есть строка, содержащая не менее п/C точек.
2. Есть как минимум ${ Displaystyle п ^ {2} / К}$ линии, каждая из которых содержит не менее двух точек.

Согласно первоначальному аргументу Бека, C 100 и K неуказанная константа; неизвестно, какие оптимальные значения C и K находятся.

Доказательство

Доказательство теоремы Бека можно дать следующим образом. Рассмотрим набор п из п точки в плоскости. Позволять j быть положительным целым числом. Скажем, пара точек А, B в наборе п является j-связный если линия, соединяющая А и B содержит между ${ displaystyle 2 ^ {j}}$ и ${ displaystyle 2 ^ {j + 1} -1}$ точки п (включая А и B).

От Теорема Семереди – Троттера., количество таких строк равно ${ Displaystyle О (п ^ {2} / 2 ^ {3j} + п / 2 ^ {j})}$, следующим образом: Рассмотрим множество п из п точек, а набор L всех этих линий, натянутых на пары точек п которые содержат как минимум ${ displaystyle 2 ^ {j}}$ точки п. Поскольку никакие две точки не могут лежать на двух разных прямых ${ displaystyle | L | cdot {2 ^ {j} choose 2} leq {n choose 2}}$. Теперь используя Теорема Семереди – Троттера., следует, что число случаев между п и L самое большее ${ Displaystyle О (п ^ {2} / 2 ^ {2j} + п)}$. Все линии, соединяющие j-связанный точки также лежат в L, и каждый вносит как минимум ${ displaystyle 2 ^ {j}}$ случаи. Следовательно, общее количество таких строк равно ${ Displaystyle О (п ^ {2} / 2 ^ {3j} + п / 2 ^ {j})}$.

Поскольку каждая такая линия соединяется вместе ${ displaystyle Omega (2 ^ {2j})}$ пары точек, мы видим, что не более ${ Displaystyle О (п ^ {2} / 2 ^ {j} + 2 ^ {j} п)}$ пары точек могут быть j-связаны.

Теперь позвольте C быть большой константой. Суммируя геометрическая серия, мы видим, что количество пар точек, которые j-подключен для некоторых j удовлетворение ${ Displaystyle С Leq 2 ^ {J} Leq п / С}$ самое большее ${ Displaystyle О (п ^ {2} / C)}$.

С другой стороны, общее количество пар равно ${ Displaystyle { гидроразрыва {п (п-1)} {2}}}$. Таким образом, если мы выберем C чтобы быть достаточно большим, мы можем найти хотя бы ${ Displaystyle п ^ {2} / 4}$ пары (например), которые не j-подключен для любых ${ Displaystyle С Leq 2 ^ {J} Leq п / С}$. Линии, соединяющие эти пары, проходят менее чем через 2C баллов или пройти более п/C точки. Если последний случай верен хотя бы для одной из этих пар, то мы имеем первое заключение теоремы Бека. Таким образом, можно предположить, что все ${ Displaystyle п ^ {2} / 4}$ пары соединены линиями, которые проходят менее чем через 2C точки. Но каждая такая линия может подключать не более ${ Displaystyle C (2C-1)}$ пары точек. Таким образом, должно быть как минимум ${ Displaystyle п ^ {2} / 4C (2C-1)}$ линии, соединяющие не менее двух точек, и утверждение следует, взяв ${ Displaystyle К = 4С (2С-1)}$.

Рекомендации